एलजेब्रा उदाहरण

$x^{3} - 8 x^{2} + 17 x - 10 < 0$

Step 1

असमानता को समीकरण में बदलें.

$x^{3} - 8 x^{2} + 17 x - 10 = 0$

Step 2

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

परिमेय मूल परीक्षण का उपयोग करते हुए गुणनखंड $x^{3} - 8 x^{2} + 17 x - 10$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 10, \pm 2, \pm 5 q = \pm 1$

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 10, \pm 2, \pm 5$

$1$ को प्रतिस्थापित करें और व्यंजक को सरल करें. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $1$ बहुपद का मूल है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$1$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करें.

$1^{3} - 8 \cdot 1^{2} + 17 \cdot 1 - 10$

$1$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$1 - 8 \cdot 1^{2} + 17 \cdot 1 - 10$

$1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$1 - 8 \cdot 1 + 17 \cdot 1 - 10$

$- 8$ को $1$ से गुणा करें.

$1 - 8 + 17 \cdot 1 - 10$

$1$ में से $8$ घटाएं.

$- 7 + 17 \cdot 1 - 10$

$17$ को $1$ से गुणा करें.

$- 7 + 17 - 10$

$- 7$ और $17$ जोड़ें.

$10 - 10$

$10$ में से $10$ घटाएं.

$0$

चूँकि $1$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $x - 1$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{x^{3} - 8 x^{2} + 17 x - 10}{x - 1}$

$x^{3} - 8 x^{2} + 17 x - 10$ को $x - 1$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x$

$1$

$x^{3}$

$8 x^{2}$

$17 x$

$10$

भाज्य $x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$17 x$	-	$10$

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$17 x$	-	$10$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x^{3} - x^{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$17 x$	-	$10$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$17 x$	-	$10$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$7 x^{2}$

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$17 x$	-	$10$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$17 x$

भाज्य $- 7 x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$17 x$	-	$10$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$17 x$

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$17 x$	-	$10$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$17 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$7 x$

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 7 x^{2} + 7 x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$17 x$	-	$10$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$17 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$7 x$

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$17 x$	-	$10$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$17 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							+	$10 x$

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$17 x$	-	$10$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$17 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							+	$10 x$	-	$10$

भाज्य $10 x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$10$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$17 x$	-	$10$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$17 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							+	$10 x$	-	$10$

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$10$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$17 x$	-	$10$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$17 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							+	$10 x$	-	$10$
							+	$10 x$	-	$10$

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $10 x - 10$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$10$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$17 x$	-	$10$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$17 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							+	$10 x$	-	$10$
							-	$10 x$	+	$10$

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$10$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$17 x$	-	$10$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$17 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							+	$10 x$	-	$10$
							-	$10 x$	+	$10$
										$0$

चूंकि रिमांडर $0$ है, इसलिए अंतिम उत्तर भागफल है.

$x^{2} - 7 x + 10$

गुणनखंडों के एक सेट के रूप में $x^{3} - 8 x^{2} + 17 x - 10$ लिखें.

$(x - 1) (x^{2} - 7 x + 10) = 0$

AC विधि का उपयोग करके $x^{2} - 7 x + 10$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

AC विधि का उपयोग करके $x^{2} - 7 x + 10$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $10$ है और जिसका योग $- 7$ है.

$- 5, - 2$

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$(x - 1) ((x - 5) (x - 2)) = 0$

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$(x - 1) (x - 5) (x - 2) = 0$

Step 3

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x - 1 = 0$

$x - 5 = 0$

$x - 2 = 0$

Step 4

$x - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$x - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 1 = 0$

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$x = 1$

Step 5

$x - 5$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$x - 5$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 5 = 0$

समीकरण के दोनों पक्षों में $5$ जोड़ें.

$x = 5$

Step 6

$x - 2$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$x - 2$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 2 = 0$

समीकरण के दोनों पक्षों में $2$ जोड़ें.

$x = 2$

Step 7

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(x - 1) (x - 5) (x - 2) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 1, 5, 2$

Step 8

परीक्षण अंतराल बनाने के लिए प्रत्येक मूल का प्रयोग करें.

$x < 1$

$1 < x < 2$

$2 < x < 5$

$x > 5$

Step 9

प्रत्येक अंतराल से एक परीक्षण मान चुनें और यह निर्धारित करने के लिए कि कौन से अंतराल असमानता को संतुष्ट करते हैं, इस मान को मूल असमानता में प्लग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

अंतराल $x < 1$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

अंतराल $x < 1$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = 0$

मूल असमानता में $x$ को $0$ से बदलें.

${(0)}^{3} - 8 {(0)}^{2} + 17 (0) - 10 < 0$

बाईं ओर $- 10$ दाईं ओर $0$ से छोटा है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन हमेशा सत्य है.

True

अंतराल $1 < x < 2$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

अंतराल $1 < x < 2$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = 1.5$

मूल असमानता में $x$ को $1.5$ से बदलें.

${(1.5)}^{3} - 8 {(1.5)}^{2} + 17 (1.5) - 10 < 0$

बाईं ओर $0.875$ दाईं ओर $0$ से कम नहीं है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन गलत है.

False

अंतराल $2 < x < 5$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

अंतराल $2 < x < 5$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = 4$

मूल असमानता में $x$ को $4$ से बदलें.

${(4)}^{3} - 8 {(4)}^{2} + 17 (4) - 10 < 0$

बाईं ओर $- 6$ दाईं ओर $0$ से छोटा है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन हमेशा सत्य है.

True

अंतराल $x > 5$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

अंतराल $x > 5$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = 8$

मूल असमानता में $x$ को $8$ से बदलें.

${(8)}^{3} - 8 {(8)}^{2} + 17 (8) - 10 < 0$

बाईं ओर $126$ दाईं ओर $0$ से कम नहीं है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन गलत है.

False

यह निर्धारित करने के लिए अंतराल की तुलना करें कि कौन से तत्व मूल असमानता को संतुष्ट करते हैं.

$x < 1$ सही

$1 < x < 2$ गलत

$2 < x < 5$ सही

$x > 5$ गलत

$x < 1$ सही

$1 < x < 2$ गलत

$2 < x < 5$ सही

$x > 5$ गलत

Step 10

हल में सभी सच्चे अंतराल होते हैं.

$x < 1$ या $2 < x < 5$

Step 11

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

असमानता रूप:

$x < 1 or 2 < x < 5$

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, 1) \cup (2, 5)$

Step 12