कैलकुलस उदाहरण

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

${\displaystyle f\left(k\right)}$ ${\displaystyle [1,\infty )}$ पर निरंतर है.

एक असमानता स्थापित करें.

असमानता को हल करें.

${\displaystyle k{e}^{k^2}}$ को एक फलन के रूप में लिखें.

पहला व्युत्पन्न पता करें.

पहले व्युत्पन्न को ${\displaystyle 0}$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण ${\displaystyle 2k^2{e}^{k^2}+e^{k^2}=0}$ को हल करें.

मूल समस्या के डोमेन में ${\displaystyle k}$ का कोई मान नहीं है जहां व्युत्पन्न ${\displaystyle 0}$ या अपरिभाषित है.

कोई भी संख्या व्युत्पन्न ${\displaystyle f\mathrm{<mo>\prime </mo>}\left(k\right)=2k^2{e}^{k^2}+e^{k^2}}$ को ${\displaystyle 0}$ के बराबर या अपरिभाषित नहीं बनाता है. ${\displaystyle f\left(k\right)=k{e}^{k^2}}$ बढ़ रहा है या घट रहा है, यह जांचने के लिए अंतराल ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$ है.

परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है या नहीं, यह जांचने के लिए व्युत्पन्न ${\displaystyle f\mathrm{<mo>\prime </mo>}\left(k\right)=2k^2{e}^{k^2}+e^{k^2}}$ में अंतराल ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$ से कोई भी संख्या, जैसे ${\displaystyle 1}$ प्रतिस्थापित करें. यदि परिणाम ऋणात्मक है, तो अंतराल ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$ पर ग्राफ घट रहा है. यदि परिणाम धनात्मक है, तो अंतराल ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$ पर ग्राफ बढ़ रहा है.

${\displaystyle 1}$ को ${\displaystyle f\mathrm{<mo>\prime </mo>}\left(k\right)=2k^2{e}^{k^2}+e^{k^2}}$ में बदलने का परिणाम ${\displaystyle 3e}$ है, जो धनात्मक है, इसलिए अंतराल ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$ पर ग्राफ बढ़ रहा है.

अंतराल ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$ के ऊपर बढ़ने का अर्थ है कि फलन हमेशा बढ़ रहा है.