Trigonométrie Exemples

$\sqrt{2} \cos (x) = 1$

Step 1

Divisez chaque terme dans $\sqrt{2} \cos (x) = 1$ par $\sqrt{2}$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Divisez chaque terme dans $\sqrt{2} \cos (x) = 1$ par $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Annulez le facteur commun de $\sqrt{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Annulez le facteur commun.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Réécrivez l’expression.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Évaluez l’exposant.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Step 2

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Step 3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

La valeur exacte de $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ est $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Step 4

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

Step 5

Simplifiez $2 π - \frac{π}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Associez $2 π$ et $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $4$ par $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{4}$

Soustrayez $π$ de $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Step 6

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Step 7

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , pour tout entier $n$