Trigonométrie Exemples

$\sec (x) - \cos (x) = \tan (x) \sin (x)$

Step 1

Simplifiez le côté gauche.

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Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x) = \tan (x) \sin (x)$

Step 2

Simplifiez le côté droit.

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Simplifiez $\tan (x) \sin (x)$ .

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Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sin (x)$

Multipliez $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sin (x)$ .

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Associez $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ et $\sin (x)$ .

$\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x) = \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x) = \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x) = \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)}$

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x) = \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)}$

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x) = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Step 3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\cos (x)$ .

$\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x)) = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Step 4

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) (- \cos (x)) = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Step 5

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Annulez le facteur commun.

$\cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) (- \cos (x)) = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Réécrivez l’expression.

$1 + \cos (x) (- \cos (x)) = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Step 6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1 - \cos (x) \cos (x) = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Step 7

Multipliez $- \cos (x) \cos (x)$ .

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Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$1 - (\cos^{1} (x) \cos (x)) = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$1 - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 - {\cos (x)}^{1 + 1} = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Additionnez $1$ et $1$ .

$1 - \cos^{2} (x) = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Step 8

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\sin^{2} (x) = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Step 9

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Annulez le facteur commun.

$\sin^{2} (x) = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Réécrivez l’expression.

$\sin^{2} (x) = \sin^{2} (x)$

Step 10

Comme les exposants sont égaux, les bases des exposants des deux côtés de l’équation doivent être égales.

$| \sin (x) | = | \sin (x) |$

Step 11

Résolvez $x$ .

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Réécrivez l’équation de la valeur absolue sous la forme de quatre équations sans barre de valeur absolue.

$\sin (x) = \sin (x)$

$\sin (x) = - \sin (x)$

$- \sin (x) = \sin (x)$

$- \sin (x) = - \sin (x)$

Après la simplification, il n’y a que deux équations uniques à résoudre.

$\sin (x) = \sin (x)$

$\sin (x) = - \sin (x)$

Résolvez $\sin (x) = \sin (x)$ pour $x$ .

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Pour que les deux fonctions soient égales, leurs arguments doivent être égaux.

$x = x$

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$x - x = 0$

Soustrayez $x$ de $x$ .

$0 = 0$

Comme $0 = 0$ , l’équation sera toujours vraie.

Tous les nombres réels

Résolvez $\sin (x) = - \sin (x)$ pour $x$ .

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Déplacez tous les termes contenant $\sin (x)$ du côté gauche de l’équation.

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Ajoutez $\sin (x)$ aux deux côtés de l’équation.

$\sin (x) + \sin (x) = 0$

Additionnez $\sin (x)$ et $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) = 0$

Divisez chaque terme dans $2 \sin (x) = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Divisez chaque terme dans $2 \sin (x) = 0$ par $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Simplifiez le côté gauche.

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Annulez le facteur commun de $2$ .

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Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x) = \frac{0}{2}$

Simplifiez le côté droit.

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Divisez $0$ par $2$ .

$\sin (x) = 0$

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (0)$

Simplifiez le côté droit.

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La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$x = 0$

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - 0$

Soustrayez $0$ de $π$ .

$x = π$

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Step 12

Consolidez les réponses.

$x = π n$ , pour tout entier $n$