Pré-calcul Exemples

$y = 3^{x} + 2$

Step 1

Interchangez les variables.

$x = 3^{y} + 2$

Step 2

Résolvez $y$ .

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Réécrivez l’équation comme $3^{y} + 2 = x$ .

$3^{y} + 2 = x$

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$3^{y} = x - 2$

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (3^{y}) = \ln (x - 2)$

Développez $\ln (3^{y})$ en déplaçant $y$ hors du logarithme.

$y \ln (3) = \ln (x - 2)$

Divisez chaque terme dans $y \ln (3) = \ln (x - 2)$ par $\ln (3)$ et simplifiez.

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Divisez chaque terme dans $y \ln (3) = \ln (x - 2)$ par $\ln (3)$ .

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}$

Simplifiez le côté gauche.

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Annulez le facteur commun de $\ln (3)$ .

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Annulez le facteur commun.

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}$

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}$

Step 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}$

Step 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}$ est l’inverse de $f (x) = 3^{x} + 2$ .

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Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Évaluez $f^{- 1} (3^{x} + 2)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3^{x} + 2) = \frac{\ln ((3^{x} + 2) - 2)}{\ln (3)}$

Associez les termes opposés dans $3^{x} + 2 - 2$ .

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Soustrayez $2$ de $2$ .

$f^{- 1} (3^{x} + 2) = \frac{\ln (3^{x} + 0)}{\ln (3)}$

Additionnez $3^{x}$ et $0$ .

$f^{- 1} (3^{x} + 2) = \frac{\ln (3^{x})}{\ln (3)}$

Développez $\ln (3^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$f^{- 1} (3^{x} + 2) = \frac{x \ln (3)}{\ln (3)}$

Annulez le facteur commun de $\ln (3)$ .

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Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (3^{x} + 2) = \frac{x \ln (3)}{\ln (3)}$

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (3^{x} + 2) = x$

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Évaluez $f (\frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}) = 3^{\frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}} + 2$

Simplifiez chaque terme.

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Utilisez la règle du changement de base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}) = 3^{\log_{3} (x - 2)} + 2$

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (\frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}) = x - 2 + 2$

Associez les termes opposés dans $x - 2 + 2$ .

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Additionnez $- 2$ et $2$ .

$f (\frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}) = x + 0$

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (\frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}) = x$

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}$ est l’inverse de $f (x) = 3^{x} + 2$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}$