Pré-calcul Exemples

$4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 6 y + 9 = 0$

Étape 1

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 6 y = - 9$

Étape 2

Complétez le carré pour $4 x^{2} - 8 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 4$

$b = - 8$

$c = 0$

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 8}{2 \cdot 4}$

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Annulez le facteur commun à $- 8$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Factorisez $2$ à partir de $- 8$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 4}$

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (4)}$

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 4}$

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 4}{4}$

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4}$

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4 (1)}$

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 1}$

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 1}{1}$

Divisez $- 1$ par $1$ .

$d = - 1$

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Simplifiez chaque terme.

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Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

Multipliez $4$ par $4$ .

$e = 0 - \frac{64}{16}$

Divisez $64$ par $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$e = 0 - 4$

Soustrayez $4$ de $0$ .

$e = - 4$

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $4 {(x - 1)}^{2} - 4$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - 4$

Étape 3

Remplacez $4 x^{2} - 8 x$ par $4 {(x - 1)}^{2} - 4$ dans l’équation $4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 6 y = - 9$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - 4 + y^{2} + 6 y = - 9$

Étape 4

Déplacez $- 4$ du côté droit de l’équation en ajoutant $4$ des deux côtés.

$4 {(x - 1)}^{2} + y^{2} + 6 y = - 9 + 4$

Étape 5

Complétez le carré pour $y^{2} + 6 y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = 6$

$c = 0$

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{6}{2 \cdot 1}$

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}$

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)}$

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}$

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{3}{1}$

Divisez $3$ par $1$ .

$d = 3$

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{6^{2}}{4 \cdot 1}$

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot 1}$

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{36}{4}$

Divisez $36$ par $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 9$

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$e = 0 - 9$

Soustrayez $9$ de $0$ .

$e = - 9$

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(y + 3)}^{2} - 9$ .

${(y + 3)}^{2} - 9$

Étape 6

Remplacez $y^{2} + 6 y$ par ${(y + 3)}^{2} - 9$ dans l’équation $4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 6 y = - 9$ .

$4 {(x - 1)}^{2} + {(y + 3)}^{2} - 9 = - 9 + 4$

Étape 7

Déplacez $- 9$ du côté droit de l’équation en ajoutant $9$ des deux côtés.

$4 {(x - 1)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = - 9 + 4 + 9$

Étape 8

Simplifiez $- 9 + 4 + 9$ .

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Additionnez $- 9$ et $4$ .

$4 {(x - 1)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = - 5 + 9$

Additionnez $- 5$ et $9$ .

$4 {(x - 1)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 4$

Étape 9

Divisez chaque terme par $4$ pour rendre le côté droit égal à un.

$\frac{4 {(x - 1)}^{2}}{4} + \frac{{(y + 3)}^{2}}{4} = \frac{4}{4}$

Étape 10

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

${(x - 1)}^{2} + \frac{{(y + 3)}^{2}}{4} = 1$