Pré-calcul Exemples

$(1, 2)$ , $(2, 9)$

Step 1

L’équation permettant de déterminer l’angle entre deux vecteurs $θ$ indique que le produit scalaire des deux vecteurs est égal au produit des valeurs absolues des vecteurs et du cosinus de l’angle entre eux.

$u \cdot v = | u | | v | c o s (θ)$

Step 2

Résolvez l’équation pour $θ$ .

$θ = a r c \cdot c o s (\frac{u \cdot v}{| u | | v |})$

Step 3

Déterminez le produit scalaire des vecteurs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Pour déterminer le produit scalaire, déterminez la somme des produits de composants correspondants des vecteurs.

$u \cdot v = u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2}$

Remplacez les composants des vecteurs dans l’expression.

$1 \cdot 2 + 2 \cdot 9$

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Supprimez les parenthèses.

$1 \cdot 2 + 2 \cdot 9$

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + 2 \cdot 9$

Multipliez $2$ par $9$ .

$2 + 18$

Additionnez $2$ et $18$ .

$20$

Step 4

Déterminez la valeur absolue de $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Pour déterminez la valeur absolue du vecteur, déterminez la racine carrée de la somme des composants du vecteur élevé au carré.

$\sqrt{{(u_{1})}^{2} + {(u_{2})}^{2}}$

Remplacez les composants du vecteur dans l’expression.

$\sqrt{{(1)}^{2} + {(2)}^{2}}$

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{1 + {(2)}^{2}}$

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{1 + 4}$

Additionnez $1$ et $4$ .

$\sqrt{5}$

Step 5

Déterminez la valeur absolue de $v$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Pour déterminez la valeur absolue du vecteur, déterminez la racine carrée de la somme des composants du vecteur élevé au carré.

$\sqrt{{(u_{1})}^{2} + {(u_{2})}^{2}}$

Remplacez les composants du vecteur dans l’expression.

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(9)}^{2}}$

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{4 + {(9)}^{2}}$

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{4 + 81}$

Additionnez $4$ et $81$ .

$\sqrt{85}$

Step 6

Remplacez les valeurs dans l’équation pour l’angle entre les vecteurs.

$θ = \arccos (\frac{20}{(\sqrt{5}) \cdot (\sqrt{85})})$

Step 7

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\arccos (\frac{20}{\sqrt{5 \cdot 85}})$

Multipliez $5$ par $85$ .

$\arccos (\frac{20}{\sqrt{425}})$

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Réécrivez $425$ comme $5^{2} \cdot 17$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Factorisez $25$ à partir de $425$ .

$\arccos (\frac{20}{\sqrt{25 (17)}})$

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\arccos (\frac{20}{\sqrt{5^{2} \cdot 17}})$

Extrayez les termes de sous le radical.

$\arccos (\frac{20}{5 \sqrt{17}})$

Annulez le facteur commun à $20$ et $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Factorisez $5$ à partir de $20$ .

$\arccos (\frac{5 \cdot 4}{5 \sqrt{17}})$

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Factorisez $5$ à partir de $5 \sqrt{17}$ .

$\arccos (\frac{5 \cdot 4}{5 (\sqrt{17})})$

Annulez le facteur commun.

$\arccos (\frac{5 \cdot 4}{5 \sqrt{17}})$

Réécrivez l’expression.

$\arccos (\frac{4}{\sqrt{17}})$

Multipliez $\frac{4}{\sqrt{17}}$ par $\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}$ .

$\arccos (\frac{4}{\sqrt{17}} \cdot \frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}})$

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $\frac{4}{\sqrt{17}}$ par $\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}$ .

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{\sqrt{17} \sqrt{17}})$

Élevez $\sqrt{17}$ à la puissance $1$ .

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{1} \sqrt{17}})$

Élevez $\sqrt{17}$ à la puissance $1$ .

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{1} {\sqrt{17}}^{1}})$

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{1 + 1}})$

Additionnez $1$ et $1$ .

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{2}})$

Réécrivez ${\sqrt{17}}^{2}$ comme $17$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{17}$ comme $17^{\frac{1}{2}}$ .

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{{(17^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17^{\frac{2}{2}}})$

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Annulez le facteur commun.

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17^{\frac{2}{2}}})$

Réécrivez l’expression.

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17^{1}})$

Évaluez l’exposant.

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17})$

Évaluez $\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17})$ .

$0.24497866$