Pré-calcul Exemples

$\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)} + \frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}$

Step 1

Pour écrire $\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}$

Step 2

Pour écrire $\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$

Step 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(1 - \sin (x)) \cos (x)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Multipliez $\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$ par $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{(1 - \sin (x)) \cos (x)} + \frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$

Multipliez $\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}$ par $\frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{(1 - \sin (x)) \cos (x)} + \frac{(1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Réorganisez les facteurs de $(1 - \sin (x)) \cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))} + \frac{(1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Step 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\cos (x) \cos (x) + (1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Step 5

Simplifiez le numérateur.

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Multipliez $\cos (x) \cos (x)$ .

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Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos (x) + (1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + (1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1} + (1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + (1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Développez $(1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 (1 - \sin (x)) - \sin (x) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) - \sin (x) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) (- \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Simplifiez chaque terme.

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Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 + 1 (- \sin (x)) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) (- \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Multipliez $- \sin (x)$ par $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 - \sin (x) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) (- \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 - \sin (x) - \sin (x) - \sin (x) (- \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Multipliez $- \sin (x) (- \sin (x))$ .

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Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 - \sin (x) - \sin (x) + 1 \sin (x) \sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 - \sin (x) - \sin (x) + \sin (x) \sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 - \sin (x) - \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 - \sin (x) - \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 - \sin (x) - \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 - \sin (x) - \sin (x) + \sin^{2} (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Soustrayez $\sin (x)$ de $- \sin (x)$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 - 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Réécrivez $\cos^{2} (x) + 1 - 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)$ en forme factorisée.

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Regroupez les termes.

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) + 1 - 2 \sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Réorganisez les termes.

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + 1 - 2 \sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{1 + 1 - 2 \sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 - 2 \sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Factorisez $2$ à partir de $2 - 2 \sin (x)$ .

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Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (1) - 2 \sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \sin (x)$ .

$\frac{2 (1) + 2 (- \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Factorisez $2$ à partir de $2 (1) + 2 (- \sin (x))$ .

$\frac{2 (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Step 6

Annulez le facteur commun de $1 - \sin (x)$ .

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Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{\cos (x)}$

Step 7

Séparez les fractions.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Step 8

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\frac{2}{1} \sec (x)$

Step 9

Divisez $2$ par $1$ .

$2 \sec (x)$