Pré-calcul Exemples

$2 \sin^{2} (x) - 3 \sin (x) + 1 = 0$

Step 1

Factorisez par regroupement.

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Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ et dont la somme est $b = - 3$ .

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Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 \sin (x)$ .

$2 \sin^{2} (x) - 3 \sin (x) + 1 = 0$

Réécrivez $- 3$ comme $- 1$ plus $- 2$

$2 \sin^{2} (x) + (- 1 - 2) \sin (x) + 1 = 0$

Appliquez la propriété distributive.

$2 \sin^{2} (x) - 1 \sin (x) - 2 \sin (x) + 1 = 0$

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$2 \sin^{2} (x) - 1 \sin (x) - 2 \sin (x) + 1 = 0$

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\sin (x) (2 \sin (x) - 1) - (2 \sin (x) - 1) = 0$

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 \sin (x) - 1$ .

$(2 \sin (x) - 1) (\sin (x) - 1) = 0$

Step 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 \sin (x) - 1 = 0$

$\sin (x) - 1 = 0$

Step 3

Définissez $2 \sin (x) - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Définissez $2 \sin (x) - 1$ égal à $0$ .

$2 \sin (x) - 1 = 0$

Résolvez $2 \sin (x) - 1 = 0$ pour $x$ .

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Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 \sin (x) = 1$

Divisez chaque terme dans $2 \sin (x) = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Divisez chaque terme dans $2 \sin (x) = 1$ par $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Simplifiez le côté gauche.

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Annulez le facteur commun de $2$ .

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Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Simplifiez le côté droit.

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La valeur exacte de $\arcsin (\frac{1}{2})$ est $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - \frac{π}{6}$

Simplifiez $π - \frac{π}{6}$ .

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Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Associez les fractions.

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Associez $π$ et $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Simplifiez le numérateur.

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Déplacez $6$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Step 4

Définissez $\sin (x) - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Définissez $\sin (x) - 1$ égal à $0$ .

$\sin (x) - 1 = 0$

Résolvez $\sin (x) - 1 = 0$ pour $x$ .

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Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$\sin (x) = 1$

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (1)$

Simplifiez le côté droit.

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La valeur exacte de $\arcsin (1)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

$x = π - \frac{π}{2}$

Simplifiez $π - \frac{π}{2}$ .

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Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Associez les fractions.

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Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Simplifiez le numérateur.

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Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Step 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 \sin (x) - 1) (\sin (x) - 1) = 0$ vraie.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$