Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{i = 1}^{\infty} (12) {(0.25)}^{i}$

Step 1

La somme d’une série géométrique infinie peut être déterminée en utilisant la formule $\frac{a}{1 - r}$ où $a$ est le premier terme et $r$ est le rapport entre des termes successifs.

Step 2

Déterminez le rapport de termes successifs en insérant dans la formule $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ et en simplifiant.

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Remplacez $a_{i}$ et $a_{i + 1}$ dans la formule pour $r$ .

$r = \frac{12 \cdot {0.25}^{i + 1}}{12 \cdot {0.25}^{i}}$

Simplifiez

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Annulez le facteur commun de $12$ .

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Annulez le facteur commun.

$r = \frac{12 \cdot {0.25}^{i + 1}}{12 \cdot {0.25}^{i}}$

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{{0.25}^{i + 1}}{{0.25}^{i}}$

Annulez le facteur commun à ${0.25}^{i + 1}$ et ${0.25}^{i}$ .

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Factorisez ${0.25}^{i}$ à partir de ${0.25}^{i + 1}$ .

$r = \frac{{0.25}^{i} \cdot 0.25}{{0.25}^{i}}$

Annulez les facteurs communs.

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Multipliez par $1$ .

$r = \frac{{0.25}^{i} \cdot 0.25}{{0.25}^{i} \cdot 1}$

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{{0.25}^{i} \cdot 0.25}{{0.25}^{i} \cdot 1}$

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{0.25}{1}$

Divisez $0.25$ par $1$ .

$r = 0.25$

Step 3

Since $| r | < 1$ , the series converges.

Step 4

Déterminez les premiers termes de la série en remplaçant dans la borne inférieure et en simplifiant.

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Remplacez $i$ par $1$ dans $(12) {(0.25)}^{i}$ .

$a = 12 \cdot {0.25}^{1}$

Simplifiez

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Évaluez l’exposant.

$a = 12 \cdot 0.25$

Multipliez $12$ par $0.25$ .

$a = 3$

Step 5

Remplacez les valeurs du rapport et du premier terme dans la formule de l’addition.

$\frac{3}{1 - 0.25}$

Step 6

Simplifiez

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Soustrayez $0.25$ de $1$ .

$\frac{3}{0.75}$

Divisez $3$ par $0.75$ .

$4$