Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{i = 1}^{3} 2^{i}$

Step 1

La somme d’une série géométrique finie peut être déterminée en utilisant la formule $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ où $a$ est le premier terme et $r$ est le rapport entre des termes successifs.

Step 2

Déterminez le rapport de termes successifs en insérant dans la formule $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ et en simplifiant.

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Remplacez $a_{i}$ et $a_{i + 1}$ dans la formule pour $r$ .

$r = \frac{2^{i + 1}}{2^{i}}$

Annulez le facteur commun à $2^{i + 1}$ et $2^{i}$ .

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Factorisez $2^{i}$ à partir de $2^{i + 1}$ .

$r = \frac{2^{i} \cdot 2}{2^{i}}$

Annulez les facteurs communs.

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Multipliez par $1$ .

$r = \frac{2^{i} \cdot 2}{2^{i} \cdot 1}$

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{2^{i} \cdot 2}{2^{i} \cdot 1}$

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{2}{1}$

Divisez $2$ par $1$ .

$r = 2$

Step 3

Déterminez les premiers termes de la série en remplaçant dans la borne inférieure et en simplifiant.

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Remplacez $i$ par $1$ dans $2^{i}$ .

$a = 2^{1}$

Évaluez l’exposant.

$a = 2$

Step 4

Remplacez les valeurs du rapport, du premier terme et du nombre de termes dans la formule de l’addition.

$2 \frac{1 - 2^{3}}{1 - 1 \cdot 2}$

Step 5

Simplifiez

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Simplifiez le numérateur.

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Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$2 \frac{1 - 1 \cdot 8}{1 - 1 \cdot 2}$

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$2 \frac{1 - 8}{1 - 1 \cdot 2}$

Soustrayez $8$ de $1$ .

$2 \frac{- 7}{1 - 1 \cdot 2}$

Simplifiez le dénominateur.

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Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 \frac{- 7}{1 - 2}$

Soustrayez $2$ de $1$ .

$2 (\frac{- 7}{- 1})$

Divisez $- 7$ par $- 1$ .

$2 \cdot 7$

Multipliez $2$ par $7$ .

$14$