Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2^{n}}{3^{n}}$

Étape 1

La somme d’une série géométrique infinie peut être déterminée en utilisant la formule $\frac{a}{1 - r}$ où $a$ est le premier terme et $r$ est le rapport entre des termes successifs.

Étape 2

Déterminez le rapport de termes successifs en insérant dans la formule $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ et en simplifiant.

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Remplacez $a_{n}$ et $a_{n + 1}$ dans la formule pour $r$ .

$r = \frac{\frac{2^{n + 1}}{3^{n + 1}}}{\frac{2^{n}}{3^{n}}}$

Simplifiez

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Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$r = \frac{2^{n + 1}}{3^{n + 1}} \cdot \frac{3^{n}}{2^{n}}$

Associez.

$r = \frac{2^{n + 1} \cdot 3^{n}}{3^{n + 1} \cdot 2^{n}}$

Annulez le facteur commun à $2^{n + 1}$ et $2^{n}$ .

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Factorisez $2^{n}$ à partir de $2^{n + 1} \cdot 3^{n}$ .

$r = \frac{2^{n} (2 \cdot 3^{n})}{3^{n + 1} \cdot 2^{n}}$

Annulez les facteurs communs.

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Factorisez $2^{n}$ à partir de $3^{n + 1} \cdot 2^{n}$ .

$r = \frac{2^{n} (2 \cdot 3^{n})}{2^{n} \cdot 3^{n + 1}}$

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{2^{n} (2 \cdot 3^{n})}{2^{n} \cdot 3^{n + 1}}$

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{2 \cdot 3^{n}}{3^{n + 1}}$

Annulez le facteur commun à $3^{n}$ et $3^{n + 1}$ .

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Factorisez $3^{n + 1}$ à partir de $2 \cdot 3^{n}$ .

$r = \frac{3^{n + 1} (2 \cdot 3^{n - (n + 1)})}{3^{n + 1}}$

Annulez les facteurs communs.

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Multipliez par $1$ .

$r = \frac{3^{n + 1} (2 \cdot 3^{n - (n + 1)})}{3^{n + 1} \cdot 1}$

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{3^{n + 1} (2 \cdot 3^{n - (n + 1)})}{3^{n + 1} \cdot 1}$

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{2 \cdot 3^{n - (n + 1)}}{1}$

Divisez $2 \cdot 3^{n - (n + 1)}$ par $1$ .

$r = 2 \cdot 3^{n - (n + 1)}$

Simplifiez chaque terme.

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Appliquez la propriété distributive.

$r = 2 \cdot 3^{n - n - 1 \cdot 1}$

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$r = 2 \cdot 3^{n - n - 1}$

Soustrayez $n$ de $n$ .

$r = 2 \cdot 3^{0 - 1}$

Soustrayez $1$ de $0$ .

$r = 2 \cdot 3^{- 1}$

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$r = 2 \cdot \frac{1}{3}$

Associez $2$ et $\frac{1}{3}$ .

$r = \frac{2}{3}$

Étape 3

Since $| r | < 1$ , the series converges.

Étape 4

Déterminez les premiers termes de la série en remplaçant dans la borne inférieure et en simplifiant.

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Remplacez $n$ par $1$ dans $\frac{2^{n}}{3^{n}}$ .

$a = \frac{2^{1}}{3^{1}}$

Simplifiez

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Évaluez l’exposant.

$a = \frac{2}{3^{1}}$

Évaluez l’exposant.

$a = \frac{2}{3}$

Étape 5

Remplacez les valeurs du rapport et du premier terme dans la formule de l’addition.

$\frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{2}{3}}$

Étape 6

Simplifiez

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Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1 - \frac{2}{3}}$

Simplifiez le dénominateur.

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Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}$

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3 - 2}{3}}$

Soustrayez $2$ de $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\frac{1}{3}}$

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{2}{3} (1 \cdot 3)$

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Factorisez $3$ à partir de $1 \cdot 3$ .

$\frac{2}{3} (3 \cdot 1)$

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{3} (3 \cdot 1)$

Réécrivez l’expression.

$2$