Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{n = 1}^{50} n (4 n + 3)$

Step 1

Simplifiez l’addition.

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Appliquez la propriété distributive.

$n (4 n) + n \cdot 3$

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 n \cdot n + n \cdot 3$

Déplacez $3$ à gauche de $n$ .

$4 n \cdot n + 3 \cdot n$

Multipliez $n$ par $n$ en additionnant les exposants.

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Déplacez $n$ .

$4 (n \cdot n) + 3 \cdot n$

Multipliez $n$ par $n$ .

$4 n^{2} + 3 \cdot n$

$4 n^{2} + 3 n$

Réécrivez l’addition.

$\sum_{n = 1}^{50} 4 n^{2} + 3 n$

Step 2

Divisez l’addition en plus petites additions qui respectent les règles de l’addition.

$\sum_{n = 1}^{50} 4 n^{2} + 3 n = 4 \sum_{n = 1}^{50} n^{2} + 3 \sum_{n = 1}^{50} n$

Step 3

Évaluez $4 \sum_{n = 1}^{50} n^{2}$ .

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La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $2$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Remplacez les valeurs dans la formule et veillez à multiplier par le terme à l’avant.

$(4) (\frac{50 (50 + 1) (2 \cdot 50 + 1)}{6})$

Simplifiez

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Simplifiez le numérateur.

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Additionnez $50$ et $1$ .

$4 \frac{50 \cdot 51 (2 \cdot 50 + 1)}{6}$

Associez les exposants.

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Multipliez $50$ par $51$ .

$4 \frac{2550 (2 \cdot 50 + 1)}{6}$

Multipliez $2$ par $50$ .

$4 \frac{2550 (100 + 1)}{6}$

Additionnez $100$ et $1$ .

$4 \frac{2550 \cdot 101}{6}$

Simplifiez les termes.

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Multipliez $2550$ par $101$ .

$4 (\frac{257550}{6})$

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$2 (2) \frac{257550}{6}$

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$2 \cdot 2 \frac{257550}{2 \cdot 3}$

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot 2 \frac{257550}{2 \cdot 3}$

Réécrivez l’expression.

$2 (\frac{257550}{3})$

Associez $2$ et $\frac{257550}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 257550}{3}$

Simplifiez l’expression.

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Multipliez $2$ par $257550$ .

$\frac{515100}{3}$

Divisez $515100$ par $3$ .

$171700$

Step 4

Évaluez $3 \sum_{n = 1}^{50} n$ .

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La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $1$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Remplacez les valeurs dans la formule et veillez à multiplier par le terme à l’avant.

$(3) (\frac{50 (50 + 1)}{2})$

Simplifiez

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Additionnez $50$ et $1$ .

$3 \frac{50 \cdot 51}{2}$

Multipliez $50$ par $51$ .

$3 (\frac{2550}{2})$

Divisez $2550$ par $2$ .

$3 \cdot 1275$

Multipliez $3$ par $1275$ .

$3825$

Step 5

Additionnez les résultats des additions.

$171700 + 3825$

Step 6

Additionnez $171700$ et $3825$ .

$175525$