Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{6^{n}}$

Step 1

La somme d’une série géométrique infinie peut être déterminée en utilisant la formule $\frac{a}{1 - r}$ où $a$ est le premier terme et $r$ est le rapport entre des termes successifs.

Step 2

Déterminez le rapport de termes successifs en insérant dans la formule $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ et en simplifiant.

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Remplacez $a_{n}$ et $a_{n + 1}$ dans la formule pour $r$ .

$r = \frac{\frac{1}{6^{n + 1}}}{\frac{1}{6^{n}}}$

Simplifiez

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Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$r = \frac{1}{6^{n + 1}} \cdot 6^{n}$

Associez $\frac{1}{6^{n + 1}}$ et $6^{n}$ .

$r = \frac{6^{n}}{6^{n + 1}}$

Annulez le facteur commun à $6^{n}$ et $6^{n + 1}$ .

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Factorisez $6^{n + 1}$ à partir de $6^{n}$ .

$r = \frac{6^{n + 1} \cdot 6^{n - (n + 1)}}{6^{n + 1}}$

Annulez les facteurs communs.

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Multipliez par $1$ .

$r = \frac{6^{n + 1} \cdot 6^{n - (n + 1)}}{6^{n + 1} \cdot 1}$

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{6^{n + 1} \cdot 6^{n - (n + 1)}}{6^{n + 1} \cdot 1}$

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{6^{n - (n + 1)}}{1}$

Divisez $6^{n - (n + 1)}$ par $1$ .

$r = 6^{n - (n + 1)}$

Simplifiez chaque terme.

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Appliquez la propriété distributive.

$r = 6^{n - n - 1 \cdot 1}$

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$r = 6^{n - n - 1}$

Soustrayez $n$ de $n$ .

$r = 6^{0 - 1}$

Soustrayez $1$ de $0$ .

$r = 6^{- 1}$

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$r = \frac{1}{6}$

Step 3

Since $| r | < 1$ , the series converges.

Step 4

Déterminez les premiers termes de la série en remplaçant dans la borne inférieure et en simplifiant.

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Remplacez $n$ par $0$ dans $\frac{1}{6^{n}}$ .

$a = \frac{1}{6^{0}}$

Simplifiez

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Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$a = \frac{1}{1}$

Divisez $1$ par $1$ .

$a = 1$

Step 5

Remplacez les valeurs du rapport et du premier terme dans la formule de l’addition.

$\frac{1}{1 - \frac{1}{6}}$

Step 6

Simplifiez

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Simplifiez le dénominateur.

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Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1}{\frac{6}{6} - \frac{1}{6}}$

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{\frac{6 - 1}{6}}$

Soustrayez $1$ de $6$ .

$\frac{1}{\frac{5}{6}}$

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$1 (\frac{6}{5})$

Multipliez $\frac{6}{5}$ par $1$ .

$\frac{6}{5}$

Step 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{6}{5}$

Forme décimale :

$1.2$

Forme de nombre mixte :

$1 \frac{1}{5}$