Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \ln (1 - e^{x})$

Step 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 1 - e^{x}$ .

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Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 - e^{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 - e^{x}]$

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 - e^{x}]$

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - e^{x}$ .

$\frac{1}{1 - e^{x}} \frac{d}{d x} [1 - e^{x}]$

Step 2

Différenciez.

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Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$\frac{1}{1 - e^{x}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}])$

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{1 - e^{x}} (0 + \frac{d}{d x} [- e^{x}])$

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$\frac{1}{1 - e^{x}} \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- e^{x}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{1}{1 - e^{x}} (- \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Step 3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{1}{1 - e^{x}} (- e^{x})$

Step 4

Associez $\frac{1}{1 - e^{x}}$ et $e^{x}$ .

$- \frac{e^{x}}{1 - e^{x}}$