Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x^{2} - 17 x - 18}{x + 6}$

Step 1

Déterminez où l’expression $\frac{x^{2} - 17 x - 18}{x + 6}$ est indéfinie.

$x = - 6$

Step 2

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Step 3

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Step 4

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Step 5

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Factorisez $x^{2} - 17 x - 18$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 18$ et dont la somme est $- 17$ .

$- 18, 1$

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 18) (x + 1)}{x + 6}$

Développez $(x - 18) (x + 1)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (x + 1) - 18 (x + 1)}{x + 6}$

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 1 - 18 (x + 1)}{x + 6}$

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 1 - 18 x - 18 \cdot 1}{x + 6}$

Remettez dans l’ordre $x$ et $1$ .

$\frac{x \cdot x + 1 x - 18 x - 18 \cdot 1}{x + 6}$

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x \cdot x + 1 x - 18 x - 18 \cdot 1}{x + 6}$

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x \cdot x + 1 x - 18 x - 18 \cdot 1}{x + 6}$

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{1 + 1} + 1 x - 18 x - 18 \cdot 1}{x + 6}$

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x^{2} + 1 x - 18 x - 18 \cdot 1}{x + 6}$

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x^{2} + x - 18 x - 18 \cdot 1}{x + 6}$

Multipliez $- 18$ par $1$ .

$\frac{x^{2} + x - 18 x - 18}{x + 6}$

Soustrayez $18 x$ de $x$ .

$\frac{x^{2} - 17 x - 18}{x + 6}$

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$6$

$x^{2}$

$17 x$

$18$

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x$
	$x$	+	$6$		$x^{2}$	-	$17 x$	-	$18$

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x$
$x$	+	$6$		$x^{2}$	-	$17 x$	-	$18$
			+	$x^{2}$	+	$6 x$

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{2} + 6 x$

				$x$
$x$	+	$6$		$x^{2}$	-	$17 x$	-	$18$
			-	$x^{2}$	-	$6 x$

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x$
$x$	+	$6$		$x^{2}$	-	$17 x$	-	$18$
			-	$x^{2}$	-	$6 x$
					-	$23 x$

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x$
$x$	+	$6$		$x^{2}$	-	$17 x$	-	$18$
			-	$x^{2}$	-	$6 x$
					-	$23 x$	-	$18$

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 23 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x$	-	$23$
$x$	+	$6$		$x^{2}$	-	$17 x$	-	$18$
			-	$x^{2}$	-	$6 x$
					-	$23 x$	-	$18$

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x$	-	$23$
$x$	+	$6$		$x^{2}$	-	$17 x$	-	$18$
			-	$x^{2}$	-	$6 x$
					-	$23 x$	-	$18$
					-	$23 x$	-	$138$

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 23 x - 138$

				$x$	-	$23$
$x$	+	$6$		$x^{2}$	-	$17 x$	-	$18$
			-	$x^{2}$	-	$6 x$
					-	$23 x$	-	$18$
					+	$23 x$	+	$138$

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x$	-	$23$
$x$	+	$6$		$x^{2}$	-	$17 x$	-	$18$
			-	$x^{2}$	-	$6 x$
					-	$23 x$	-	$18$
					+	$23 x$	+	$138$
							+	$120$

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$x - 23 + \frac{120}{x + 6}$

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = x - 23$

Step 6

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = - 6$

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = x - 23$

Step 7