Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{3}{x - 7}$

Step 1

Déterminez la dérivée première.

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Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3}{x - 7}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 7}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x - 7})$

Réécrivez $\frac{1}{x - 7}$ comme ${(x - 7)}^{- 1}$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} ({(x - 7)}^{- 1})$

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x - 7$ .

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Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 7$ .

$f' (x) = 3 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x - 7))$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f' (x) = 3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} (x - 7))$

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 7$ .

$f' (x) = 3 (- {(x - 7)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x - 7))$

Différenciez.

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Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f' (x) = - 3 ({(x - 7)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x - 7))$

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$f' (x) = - 3 {(x - 7)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 7))$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = - 3 {(x - 7)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} (- 7))$

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = - 3 {(x - 7)}^{- 2} (1 + 0)$

Simplifiez l’expression.

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Additionnez $1$ et $0$ .

$f' (x) = - 3 {(x - 7)}^{- 2} \cdot 1$

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$f' (x) = - 3 {(x - 7)}^{- 2}$

Simplifiez

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Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - 3 \frac{1}{{(x - 7)}^{2}}$

Associez des termes.

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Associez $- 3$ et $\frac{1}{{(x - 7)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{- 3}{{(x - 7)}^{2}}$

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{3}{{(x - 7)}^{2}}$

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{3}{{(x - 7)}^{2}}$ .

$- \frac{3}{{(x - 7)}^{2}}$

Step 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{3}{{(x - 7)}^{2}} = 0$ .

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Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{3}{{(x - 7)}^{2}} = 0$

Définissez le numérateur égal à zéro.

$3 = 0$

Comme $3 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Step 3

Le domaine du problème d’origine ne comprend aucune valeur de $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Aucun point critique n’a été trouvé

Step 4

Déterminez où la dérivée est indéfinie.

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Définissez le dénominateur dans $\frac{3}{{(x - 7)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x - 7)}^{2} = 0$

Résolvez $x$ .

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Définissez le $x - 7$ égal à $0$ .

$x - 7 = 0$

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 7$

Step 5

Après avoir trouvé le point qui rend la dérivée $f' (x) = - \frac{3}{{(x - 7)}^{2}}$ égale à $0$ ou indéfinie, l’intervalle pour vérifier où $f (x) = \frac{3}{x - 7}$ augmente et diminue est $(- \infty, 7) \cup (7, \infty)$ .

$(- \infty, 7) \cup (7, \infty)$

Step 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 7)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Remplacez la variable $x$ par $6$ dans l’expression.

$f' (6) = - \frac{3}{{((6) - 7)}^{2}}$

Simplifiez le résultat.

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Simplifiez le dénominateur.

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Soustrayez $7$ de $6$ .

$f' (6) = - \frac{3}{{(- 1)}^{2}}$

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f' (6) = - \frac{3}{1}$

Simplifiez l’expression.

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Divisez $3$ par $1$ .

$f' (6) = - 1 \cdot 3$

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f' (6) = - 3$

La réponse finale est $- 3$ .

$- 3$

Sur $x = 6$ la dérivée est $- 3$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, 7)$ .

Diminue sur $(- \infty, 7)$ depuis $f' (x) < 0$

Step 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(7, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Remplacez la variable $x$ par $8$ dans l’expression.

$f' (8) = - \frac{3}{{((8) - 7)}^{2}}$

Simplifiez le résultat.

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Simplifiez le dénominateur.

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Soustrayez $7$ de $8$ .

$f' (8) = - \frac{3}{1^{2}}$

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (8) = - \frac{3}{1}$

Simplifiez l’expression.

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Divisez $3$ par $1$ .

$f' (8) = - 1 \cdot 3$

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f' (8) = - 3$

La réponse finale est $- 3$ .

$- 3$

Sur $x = 8$ la dérivée est $- 3$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(7, \infty)$ .

Diminue sur $(7, \infty)$ depuis $f' (x) < 0$

Step 8

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Diminue sur : $(- \infty, 7), (7, \infty)$

Step 9