Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$

Step 1

Déterminez la dérivée première.

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Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}$

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}$

Simplifiez le numérateur.

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Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}$

Soustrayez $3$ de $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}$

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}$

Simplifiez

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Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Step 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

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Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Définissez le numérateur égal à zéro.

$1 = 0$

Comme $1 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Step 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$3 \sqrt[3]{x^{2}} = 0$

Résolvez $x$ .

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Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${(3 \sqrt[3]{x^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x^{2}}$ comme $x^{\frac{2}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Simplifiez le côté gauche.

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Simplifiez ${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Appliquez la règle de produit à $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$27 {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Annulez le facteur commun.

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Réécrivez l’expression.

$27 x^{2} = 0^{3}$

Simplifiez le côté droit.

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L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$27 x^{2} = 0$

Résolvez $x$ .

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Divisez chaque terme dans $27 x^{2} = 0$ par $27$ et simplifiez.

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Divisez chaque terme dans $27 x^{2} = 0$ par $27$ .

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Simplifiez le côté gauche.

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Annulez le facteur commun de $27$ .

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Annulez le facteur commun.

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{27}$

Simplifiez le côté droit.

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Divisez $0$ par $27$ .

$x^{2} = 0$

Prenez la racine carrée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Step 4

Évaluez $x^{\frac{1}{3}}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Évaluez sur $x = 0$ .

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Remplacez $x$ par $0$ .

${(0)}^{\frac{1}{3}}$

Simplifiez

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Simplifiez l’expression.

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Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

${(0^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0^{3 (\frac{1}{3})}$

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Annulez le facteur commun.

$0^{3 (\frac{1}{3})}$

Réécrivez l’expression.

$0^{1}$

Évaluez l’exposant.

$0$

Indiquez tous les points.

$(0, 0)$

Step 5