Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x (x - 9 \sqrt{x})$

Étape 1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (x - 9 x^{\frac{1}{2}}))$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x - 9 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 9 x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{\frac{1}{2}})) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = x (1 + \frac{d}{d x} (- 9 x^{\frac{1}{2}})) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.3.3

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9 x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $- 9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f' (x) = x (1 - 9 \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = x (1 - 9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (1 - 9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (1 - 9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = x (1 - 9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f' (x) = x (1 - 9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f' (x) = x (1 - 9 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.8

Associez les fractions.

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Étape 1.1.8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = x (1 - 9 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.8.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x (1 - 9 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.8.3

Associez $- 9$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f' (x) = x (1 + \frac{- 9 x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.8.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.8.4.1

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x (1 + \frac{- 9}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.8.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = x (1 - \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = x (1 - \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1$

Étape 1.1.10

Multipliez $x - 9 x^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$f' (x) = x (1 - \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + x - 9 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.1.11

Simplifiez

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Étape 1.1.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = x \cdot 1 + x (- \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + x - 9 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.1.11.2

Associez des termes.

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Étape 1.1.11.2.1

Multipliez $x$ par $1$ .

$f' (x) = x + x (- \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + x - 9 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.1.11.2.2

Associez $x$ et $\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = x - \frac{x \cdot 9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x - 9 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.1.11.2.3

Déplacez $9$ à gauche de $x$ .

$f' (x) = x - \frac{9 \cdot x}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x - 9 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.1.11.2.4

Placez $x^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f' (x) = x - \frac{9 x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x - 9 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.1.11.2.5

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.11.2.5.1

Déplacez $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x - \frac{9 (x^{- \frac{1}{2}} x)}{2} + x - 9 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.1.11.2.5.2

Multipliez $x^{- \frac{1}{2}}$ par $x$ .

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Étape 1.1.11.2.5.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = x - \frac{9 (x^{- \frac{1}{2}} x)}{2} + x - 9 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.1.11.2.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = x - \frac{9 x^{- \frac{1}{2} + 1}}{2} + x - 9 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.1.11.2.5.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f' (x) = x - \frac{9 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2} + x - 9 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.1.11.2.5.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = x - \frac{9 x^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{2} + x - 9 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.1.11.2.5.5

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$f' (x) = x - \frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{2} + x - 9 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.1.11.2.6

Additionnez $x$ et $x$ .

$f' (x) = 2 x - \frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 9 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.1.11.2.7

Pour écrire $- 9 x^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 2 x - \frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 9 x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 1.1.11.2.8

Associez $- 9 x^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 2 x - \frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 9 x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2}$

Étape 1.1.11.2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = 2 x + \frac{- 9 x^{\frac{1}{2}} - 9 x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2}$

Étape 1.1.11.2.10

Multipliez $2$ par $- 9$ .

$f' (x) = 2 x + \frac{- 9 x^{\frac{1}{2}} - 18 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 1.1.11.2.11

Soustrayez $18 x^{\frac{1}{2}}$ de $- 9 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 2 x + \frac{- 27 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 1.1.11.2.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = 2 x - \frac{27 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - \frac{27 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{27 x^{\frac{1}{2}}}{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{27 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Étape 1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 1.2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{27 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{27 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Étape 1.2.2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- \frac{27 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Étape 1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{27 x^{\frac{1}{2}}}{2}]$ .

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Étape 1.2.3.1

Comme $- \frac{27}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{27 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{27}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f'' (x) = 2 - \frac{27}{2} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = 2 - \frac{27}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 1.2.3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 2 - \frac{27}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 1.2.3.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 2 - \frac{27}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 1.2.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = 2 - \frac{27}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 1.2.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f'' (x) = 2 - \frac{27}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Étape 1.2.3.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f'' (x) = 2 - \frac{27}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Étape 1.2.3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = 2 - \frac{27}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Étape 1.2.3.8

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 2 - \frac{27}{2} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 1.2.3.9

Multipliez $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ par $\frac{27}{2}$ .

$f'' (x) = 2 - \frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 27}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.3.10

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = 2 - \frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 27}{4}$

Étape 1.2.3.11

Déplacez $27$ à gauche de $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 2 - \frac{27 \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{4}$

Étape 1.2.3.12

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 - \frac{27}{4 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $2 - \frac{27}{4 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 - \frac{27}{4 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $2 - \frac{27}{4 x^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$2 - \frac{27}{4 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{27}{4 x^{\frac{1}{2}}} = - 2$

Étape 2.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$4 x^{\frac{1}{2}}, 1$

Étape 2.3.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$4 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 2.4

Multiplier chaque terme dans $- \frac{27}{4 x^{\frac{1}{2}}} = - 2$ par $4 x^{\frac{1}{2}}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.4.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{27}{4 x^{\frac{1}{2}}} = - 2$ par $4 x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{27}{4 x^{\frac{1}{2}}} (4 x^{\frac{1}{2}}) = - 2 (4 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $4 x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.4.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{27}{4 x^{\frac{1}{2}}}$ dans le numérateur.

$\frac{- 27}{4 x^{\frac{1}{2}}} (4 x^{\frac{1}{2}}) = - 2 (4 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 2.4.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 27}{4 x^{\frac{1}{2}}} (4 x^{\frac{1}{2}}) = - 2 (4 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 2.4.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 27 = - 2 (4 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 2.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.3.1

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$- 27 = - 8 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 2.5

Résolvez l’équation.

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Étape 2.5.1

Réécrivez l’équation comme $- 8 x^{\frac{1}{2}} = - 27$ .

$- 8 x^{\frac{1}{2}} = - 27$

Étape 2.5.2

Divisez chaque terme dans $- 8 x^{\frac{1}{2}} = - 27$ par $- 8$ et simplifiez.

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Étape 2.5.2.1

Divisez chaque terme dans $- 8 x^{\frac{1}{2}} = - 27$ par $- 8$ .

$\frac{- 8 x^{\frac{1}{2}}}{- 8} = \frac{- 27}{- 8}$

Étape 2.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 8 x^{\frac{1}{2}}}{- 8} = \frac{- 27}{- 8}$

Étape 2.5.2.2.2

Divisez $x^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{- 27}{- 8}$

Étape 2.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{27}{8}$

Étape 2.5.3

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $2$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{27}{8})}^{2}$

Étape 2.5.4

Simplifiez l’exposant.

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Étape 2.5.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.4.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.5.4.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.5.4.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{27}{8})}^{2}$

Étape 2.5.4.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.5.4.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{27}{8})}^{2}$

Étape 2.5.4.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = {(\frac{27}{8})}^{2}$

Étape 2.5.4.1.1.2

Simplifiez

$x = {(\frac{27}{8})}^{2}$

Étape 2.5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.4.2.1

Simplifiez ${(\frac{27}{8})}^{2}$ .

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Étape 2.5.4.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{27}{8}$ .

$x = \frac{27^{2}}{8^{2}}$

Étape 2.5.4.2.1.2

Élevez $27$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{729}{8^{2}}$

Étape 2.5.4.2.1.3

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{729}{64}$

Étape 3

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{729}{64}$ dans $f (x) = x (x - 9 \sqrt{x})$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{729}{64}$ dans l’expression.

$f (\frac{729}{64}) = (\frac{729}{64}) ((\frac{729}{64}) - 9 \sqrt{\frac{729}{64}})$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{729}{64}}$ comme $\frac{\sqrt{729}}{\sqrt{64}}$ .

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot (\frac{729}{64} - 9 \frac{\sqrt{729}}{\sqrt{64}})$

Étape 3.1.2.1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.2.1.2.1

Réécrivez $729$ comme $27^{2}$ .

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot (\frac{729}{64} - 9 \frac{\sqrt{27^{2}}}{\sqrt{64}})$

Étape 3.1.2.1.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot (\frac{729}{64} - 9 \frac{27}{\sqrt{64}})$

Étape 3.1.2.1.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1.2.1.3.1

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot (\frac{729}{64} - 9 \frac{27}{\sqrt{8^{2}}})$

Étape 3.1.2.1.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot (\frac{729}{64} - 9 (\frac{27}{8}))$

Étape 3.1.2.1.4

Multipliez $- 9 (\frac{27}{8})$ .

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Étape 3.1.2.1.4.1

Associez $- 9$ et $\frac{27}{8}$ .

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot (\frac{729}{64} + \frac{- 9 \cdot 27}{8})$

Étape 3.1.2.1.4.2

Multipliez $- 9$ par $27$ .

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot (\frac{729}{64} + \frac{- 243}{8})$

Étape 3.1.2.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot (\frac{729}{64} - \frac{243}{8})$

Étape 3.1.2.2

Pour écrire $- \frac{243}{8}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot (\frac{729}{64} - \frac{243}{8} \cdot \frac{8}{8})$

Étape 3.1.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $64$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1.2.3.1

Multipliez $\frac{243}{8}$ par $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot (\frac{729}{64} - \frac{243 \cdot 8}{8 \cdot 8})$

Étape 3.1.2.3.2

Multipliez $8$ par $8$ .

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot (\frac{729}{64} - \frac{243 \cdot 8}{64})$

Étape 3.1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot \frac{729 - 243 \cdot 8}{64}$

Étape 3.1.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.2.5.1

Multipliez $- 243$ par $8$ .

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot \frac{729 - 1944}{64}$

Étape 3.1.2.5.2

Soustrayez $1944$ de $729$ .

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot \frac{- 1215}{64}$

Étape 3.1.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot (- \frac{1215}{64})$

Étape 3.1.2.7

Multipliez $\frac{729}{64} (- \frac{1215}{64})$ .

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Étape 3.1.2.7.1

Multipliez $\frac{729}{64}$ par $\frac{1215}{64}$ .

$f (\frac{729}{64}) = - \frac{729 \cdot 1215}{64 \cdot 64}$

Étape 3.1.2.7.2

Multipliez $729$ par $1215$ .

$f (\frac{729}{64}) = - \frac{885735}{64 \cdot 64}$

Étape 3.1.2.7.3

Multipliez $64$ par $64$ .

$f (\frac{729}{64}) = - \frac{885735}{4096}$

Étape 3.1.2.8

La réponse finale est $- \frac{885735}{4096}$ .

$- \frac{885735}{4096}$

Étape 3.2

Le point trouvé en remplaçant $\frac{729}{64}$ dans $f (x) = x (x - 9 \sqrt{x})$ est $(\frac{729}{64}, - \frac{885735}{4096})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(\frac{729}{64}, - \frac{885735}{4096})$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, \frac{729}{64}) \cup (\frac{729}{64}, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, \frac{729}{64})$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $11.290625$ dans l’expression.

$f'' (11.290625) = 2 - \frac{27}{4 {(11.290625)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.1.1.1

Réécrivez $11.290625$ comme ${3.36015252}^{2}$ .

$f'' (11.290625) = 2 - \frac{27}{4 \cdot {({3.36015252}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.2.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (11.290625) = 2 - \frac{27}{4 \cdot {3.36015252}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 5.2.1.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$f'' (11.290625) = 2 - \frac{27}{4 \cdot {3.36015252}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 5.2.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$f'' (11.290625) = 2 - \frac{27}{4 \cdot 3.36015252}$

Étape 5.2.1.1.4

Évaluez l’exposant.

$f'' (11.290625) = 2 - \frac{27}{4 \cdot 3.36015252}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $4$ par $3.36015252$ .

$f'' (11.290625) = 2 - \frac{27}{13.4406101}$

Étape 5.2.1.3

Divisez $27$ par $13.4406101$ .

$f'' (11.290625) = 2 - 1 \cdot 2.00883738$

Étape 5.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $2.00883738$ .

$f'' (11.290625) = 2 - 2.00883738$

Étape 5.2.2

Soustrayez $2.00883738$ de $2$ .

$f'' (11.290625) = - 0.00883738$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- 0.00883738$ .

$- 0.00883738$

Étape 5.3

Sur $11.290625$ , la dérivée seconde est $- 0.00883738$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- \infty, \frac{729}{64})$

Diminue sur $(- \infty, \frac{729}{64})$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(\frac{729}{64}, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $11.490625$ dans l’expression.

$f'' (11.490625) = 2 - \frac{27}{4 {(11.490625)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.1.1.1

Réécrivez $11.490625$ comme ${3.38978244}^{2}$ .

$f'' (11.490625) = 2 - \frac{27}{4 \cdot {({3.38978244}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.2.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (11.490625) = 2 - \frac{27}{4 \cdot {3.38978244}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 6.2.1.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$f'' (11.490625) = 2 - \frac{27}{4 \cdot {3.38978244}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 6.2.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$f'' (11.490625) = 2 - \frac{27}{4 \cdot 3.38978244}$

Étape 6.2.1.1.4

Évaluez l’exposant.

$f'' (11.490625) = 2 - \frac{27}{4 \cdot 3.38978244}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $4$ par $3.38978244$ .

$f'' (11.490625) = 2 - \frac{27}{13.55912976}$

Étape 6.2.1.3

Divisez $27$ par $13.55912976$ .

$f'' (11.490625) = 2 - 1 \cdot 1.99127823$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $1.99127823$ .

$f'' (11.490625) = 2 - 1.99127823$

Étape 6.2.2

Soustrayez $1.99127823$ de $2$ .

$f'' (11.490625) = 0.00872176$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $0.00872176$ .

$0.00872176$

Étape 6.3

Sur $11.490625$ , la dérivée seconde est $0.00872176$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(\frac{729}{64}, \infty)$ .

Augmente sur $(\frac{729}{64}, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 7

Un point d’inflexion est un point sur une courbe sur lequel la concavité passe du signe plus au signe moins ou du signe moins au signe plus. Dans ce cas, le point d’inflexion est $(\frac{729}{64}, - \frac{885735}{4096})$ .

$(\frac{729}{64}, - \frac{885735}{4096})$

Étape 8