Calcul infinitésimal Exemples

$e^{7 x}$

Step 1

Écrivez $e^{7 x}$ comme une fonction.

$f (x) = e^{7 x}$

Step 2

Déterminez la dérivée première.

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Déterminez la dérivée première.

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Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 7 x$ .

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Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $7 x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (7 x)$

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{u} \frac{d}{d x} (7 x)$

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $7 x$ .

$f' (x) = e^{7 x} \frac{d}{d x} (7 x)$

Différenciez.

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Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = e^{7 x} (7 \frac{d}{d x} (x))$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = e^{7 x} (7 \cdot 1)$

Simplifiez l’expression.

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Multipliez $7$ par $1$ .

$f' (x) = e^{7 x} \cdot 7$

Déplacez $7$ à gauche de $e^{7 x}$ .

$f' (x) = 7 e^{7 x}$

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $7 e^{7 x}$ .

$7 e^{7 x}$

Step 3

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $7 e^{7 x} = 0$ .

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Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$7 e^{7 x} = 0$

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (7 e^{7 x}) = \ln (0)$

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Il n’y a pas de solution pour $7 e^{7 x} = 0$

Aucune solution

Step 4

Le domaine du problème d’origine ne comprend aucune valeur de $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Aucun point critique n’a été trouvé

Step 5

Aucun point ne rend la dérivée $f' (x) = 7 e^{7 x}$ égale à $0$ ni indéfinie. L’intervalle pour vérifier si $f (x) = e^{7 x}$ est croissant ou décroissant est $(- \infty, \infty)$ .

$(- \infty, \infty)$

Step 6

Remplacez tout nombre, tel que $1$ , de l’intervalle $(- \infty, \infty)$ dans la dérivée $f' (x) = 7 e^{7 x}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif. Si le résultat est négatif, le graphe est décroissant sur l’intervalle $(- \infty, \infty)$ . Si le résultat est positif, le graphe est croissant sur l’intervalle $(- \infty, \infty)$ .

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Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = 7 e^{7 (1)}$

Simplifiez le résultat.

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Multipliez $7$ par $1$ .

$f' (1) = 7 e^{7}$

La réponse finale est $7 e^{7}$ .

$7 e^{7}$

Step 7

Le résultat du remplacement de $1$ dans $f' (x) = 7 e^{7 x}$ est $7 e^{7}$ , qui est positif, si bien que le graphe est croissant sur l’intervalle $(- \infty, \infty)$ .

Augmente sur $(- \infty, \infty)$ depuis $7 e^{7 x} > 0$

Step 8

Augmente sur l’intervalle $(- \infty, \infty)$ signifie que la fonction est toujours croissante.

Toujours croissant

Step 9