Calcul infinitésimal Exemples

$3 x^{2} - 6 x$

Step 1

Écrivez $3 x^{2} - 6 x$ comme une fonction.

$f (x) = 3 x^{2} - 6 x$

Step 2

Déterminez la dérivée première.

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Déterminez la dérivée première.

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Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} - 6 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Multipliez $2$ par $3$ .

$f' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 6 x - 6 \frac{d}{d x} x$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 6 x - 6 \cdot 1$

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$f' (x) = 6 x - 6$

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $6 x - 6$ .

$6 x - 6$

Step 3

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $6 x - 6 = 0$ .

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Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$6 x - 6 = 0$

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$6 x = 6$

Divisez chaque terme dans $6 x = 6$ par $6$ et simplifiez.

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Divisez chaque terme dans $6 x = 6$ par $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{6}{6}$

Simplifiez le côté gauche.

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Annulez le facteur commun de $6$ .

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Annulez le facteur commun.

$\frac{6 x}{6} = \frac{6}{6}$

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{6}{6}$

Simplifiez le côté droit.

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Divisez $6$ par $6$ .

$x = 1$

Step 4

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $1$ .

$1$

Step 5

Après avoir trouvé le point qui rend la dérivée $f' (x) = 6 x - 6$ égale à $0$ ou indéfinie, l’intervalle pour vérifier où $f (x) = 3 x^{2} - 6 x$ augmente et diminue est $(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$ .

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Step 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 1)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f' (0) = 6 (0) - 6$

Simplifiez le résultat.

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Multipliez $6$ par $0$ .

$f' (0) = 0 - 6$

Soustrayez $6$ de $0$ .

$f' (0) = - 6$

La réponse finale est $- 6$ .

$- 6$

Sur $x = 0$ la dérivée est $- 6$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, 1)$ .

Diminue sur $(- \infty, 1)$ depuis $f' (x) < 0$

Step 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(1, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f' (2) = 6 (2) - 6$

Simplifiez le résultat.

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Multipliez $6$ par $2$ .

$f' (2) = 12 - 6$

Soustrayez $6$ de $12$ .

$f' (2) = 6$

La réponse finale est $6$ .

$6$

Sur $x = 2$ la dérivée est $6$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(1, \infty)$ .

Augmente sur $(1, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Step 8

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(1, \infty)$

Diminue sur : $(- \infty, 1)$

Step 9