Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} - 2 x - 3$

Step 1

Écrivez $x^{2} - 2 x - 3$ comme une fonction.

$f (x) = x^{2} - 2 x - 3$

Step 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Différenciez.

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Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 2 x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$2 x - 2 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x - 2 + 0$

Additionnez $2 x - 2$ et $0$ .

$2 x - 2$

Step 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 2)$

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- 2)$

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 2 + 0$

Additionnez $2$ et $0$ .

$f'' (x) = 2$

Step 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$2 x - 2 = 0$

Step 5

Déterminez la dérivée première.

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Déterminez la dérivée première.

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Différenciez.

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Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 2 x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 2 x - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 3)$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 3)$

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f' (x) = 2 x - 2 + \frac{d}{d x} (- 3)$

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 2 x - 2 + 0$

Additionnez $2 x - 2$ et $0$ .

$f' (x) = 2 x - 2$

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $2 x - 2$ .

$2 x - 2$

Step 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $2 x - 2 = 0$ .

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Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$2 x - 2 = 0$

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 2$

Divisez chaque terme dans $2 x = 2$ par $2$ et simplifiez.

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Divisez chaque terme dans $2 x = 2$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

Simplifiez le côté gauche.

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Annulez le facteur commun de $2$ .

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Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{2}{2}$

Simplifiez le côté droit.

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Divisez $2$ par $2$ .

$x = 1$

Step 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Step 8

Points critiques à évaluer.

$x = 1$

Step 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 1$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$2$

Step 10

$x = 1$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 1$ est un minimum local

Step 11

Déterminez la valeur y quand $x = 1$ .

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Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = {(1)}^{2} - 2 \cdot 1 - 3$

Simplifiez le résultat.

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Simplifiez chaque terme.

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Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = 1 - 2 \cdot 1 - 3$

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f (1) = 1 - 2 - 3$

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Soustrayez $2$ de $1$ .

$f (1) = - 1 - 3$

Soustrayez $3$ de $- 1$ .

$f (1) = - 4$

La réponse finale est $- 4$ .

$y = - 4$

Step 12

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x^{2} - 2 x - 3$ .

$(1, - 4)$ est un minimum local

Step 13