Calcul infinitésimal Exemples

$y = t \ln^{2} (3 t)$

Step 1

Supprimez les parenthèses.

$y = t \ln^{2} (3 t)$

Step 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (t \ln^{2} (3 t))$

Step 3

La dérivée de $y$ par rapport à $t$ est $y'$ .

$y'$

Step 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ est $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ où $f (t) = t$ et $g (t) = \ln^{2} (3 t)$ .

$t \frac{d}{d t} [\ln^{2} (3 t)] + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{2}$ et $g (t) = \ln (3 t)$ .

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Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\ln (3 t)$ .

$t (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d t} [\ln (3 t)]) + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$t (2 u_{1} \frac{d}{d t} [\ln (3 t)]) + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\ln (3 t)$ .

$t (2 \ln (3 t) \frac{d}{d t} [\ln (3 t)]) + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \ln (t)$ et $g (t) = 3 t$ .

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Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $3 t$ .

$t (2 \ln (3 t) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d t} [3 t])) + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

La dérivée de $\ln (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{u_{2}}$ .

$t (2 \ln (3 t) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d t} [3 t])) + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $3 t$ .

$t (2 \ln (3 t) (\frac{1}{3 t} \frac{d}{d t} [3 t])) + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Différenciez.

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Associez $\frac{1}{3 t}$ et $2$ .

$t (\frac{2}{3 t} \ln (3 t) \frac{d}{d t} [3 t]) + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Simplifiez les termes.

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Associez $\frac{2}{3 t}$ et $\ln (3 t)$ .

$t (\frac{2 \ln (3 t)}{3 t} \frac{d}{d t} [3 t]) + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Associez $\frac{2 \ln (3 t)}{3 t}$ et $t$ .

$\frac{2 \ln (3 t) t}{3 t} \frac{d}{d t} [3 t] + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Annulez le facteur commun de $t$ .

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Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \ln (3 t) t}{3 t} \frac{d}{d t} [3 t] + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \ln (3 t)}{3} \frac{d}{d t} [3 t] + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $3 t$ par rapport à $t$ est $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{2 \ln (3 t)}{3} (3 \frac{d}{d t} [t]) + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Simplifiez les termes.

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Associez $3$ et $\frac{2 \ln (3 t)}{3}$ .

$\frac{3 (2 \ln (3 t))}{3} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{6 \ln (3 t)}{3} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Annulez le facteur commun à $6$ et $3$ .

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Factorisez $3$ à partir de $6 \ln (3 t)$ .

$\frac{3 (2 \ln (3 t))}{3} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Annulez les facteurs communs.

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Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 (2 \ln (3 t))}{3 (1)} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (2 \ln (3 t))}{3 \cdot 1} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \ln (3 t)}{1} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Divisez $2 \ln (3 t)$ par $1$ .

$2 \ln (3 t) \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \ln (3 t) \cdot 1 + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 \ln (3 t) + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \ln (3 t) + \ln^{2} (3 t) \cdot 1$

Simplifiez l’expression.

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Multipliez $\ln^{2} (3 t)$ par $1$ .

$2 \ln (3 t) + \ln^{2} (3 t)$

Remettez les termes dans l’ordre.

$\ln^{2} (3 t) + 2 \ln (3 t)$

Step 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \ln^{2} (3 t) + 2 \ln (3 t)$

Step 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = \ln^{2} (3 t) + 2 \ln (3 t)$