Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{1}{e^{x} - 1}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{1}{e^{x} - 1}$ est indéfinie.

$x = 0$

Étape 2

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{e^{x} - 1}$ approche de $0$ .

$0$

Étape 3

Évaluez $lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{x} - 1}$ pour déterminer l’asymptote horizontale.

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Évaluez la limite.

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Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 1}{lim_{x \to - \infty} e^{x} - 1}$

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{1}{lim_{x \to - \infty} e^{x} - 1}$

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{1}{lim_{x \to - \infty} e^{x} - lim_{x \to - \infty} 1}$

Comme l’exposant $x$ approche de $- \infty$ , la quantité $e^{x}$ approche de $0$ .

$\frac{1}{0 - lim_{x \to - \infty} 1}$

Évaluez la limite.

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Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{1}{0 - 1 \cdot 1}$

Simplifiez la réponse.

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Simplifiez le dénominateur.

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Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{0 - 1}$

Soustrayez $1$ de $0$ .

$\frac{1}{- 1}$

Divisez $1$ par $- 1$ .

$- 1$

Étape 4

Indiquez les asymptotes horizontales :

$y = 0, - 1$

Étape 5

Il n’y a pas d’asymptote oblique car le degré du numérateur est inférieur ou égal au degré du dénominateur.

Aucune asymptote oblique

Étape 6

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = 0$

Asymptotes horizontales : $y = 0, - 1$

Aucune asymptote oblique

Étape 7