Calcul infinitésimal Exemples

$x = 1$ , $x = 3$ , $y = x^{3} - 8$ , $y = 0$

Step 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$x^{3} - 8 = 0$

Résolvez $x^{3} - 8 = 0$ pour $x$ .

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Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{3} = 8$

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$x^{3} - 8 = 0$

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$x^{3} - 2^{3} = 0$

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$(x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2}) = 0$

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 2 x + 4 = 0 + y = 0$

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Définissez $x^{2} + 2 x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Définissez $x^{2} + 2 x + 4$ égal à $0$ .

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Résolvez $x^{2} + 2 x + 4 = 0$ pour $x$ .

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Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = 0$

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 2$ et $c = 4$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1} + y = 0$

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Simplifiez le numérateur.

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Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Soustrayez $16$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Réécrivez $- 12$ comme $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Réécrivez $\sqrt{- 1 (12)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Simplifiez le numérateur.

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Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Soustrayez $16$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Réécrivez $- 12$ comme $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Réécrivez $\sqrt{- 1 (12)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = - 1 + i \sqrt{3}$

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Simplifiez le numérateur.

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Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Soustrayez $16$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Réécrivez $- 12$ comme $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Réécrivez $\sqrt{- 1 (12)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = - 1 - i \sqrt{3}$

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$ vraie.

$x = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Remplacez $x$ par $2$ .

$y = 0$

Indiquez toutes les solutions.

$y = 0, x = 2$

$y = 0, x = - 1 + i \sqrt{3}$

$y = 0, x = - 1 - i \sqrt{3}$

$y = 0, x = 2$

$y = 0, x = - 1 + i \sqrt{3}$

$y = 0, x = - 1 - i \sqrt{3}$

Step 2

L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.

$A r e a = \int_{1}^{3} x^{3} - 8 d x - \int_{1}^{3} 0 d x$

Step 3

Intégrez pour déterminer l’aire entre $1$ et $3$ .

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Intégrez pour déterminer l’aire entre $1$ et $3$ .

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Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{1}^{3} 0 - (x^{3} - 8) d x$

Soustrayez $x^{3} - 8$ de $0$ .

$\int_{1}^{3} - (x^{3} - 8) d x$

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{1}^{3} - x^{3} + 8 d x$

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{3} - x^{3} d x + \int_{1}^{3} 8 d x$

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int_{1}^{3} x^{3} d x + \int_{1}^{3} 8 d x$

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 8 d x$

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{4}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 8 d x$

Appliquez la règle de la constante.

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{3}) + 8 x]_{1}^{3}$

Remplacez et simplifiez.

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Évaluez $\frac{x^{4}}{4}$ sur $3$ et sur $1$ .

$- ((\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}) + 8 x]_{1}^{3}$

Évaluez $8 x$ sur $3$ et sur $1$ .

$- (\frac{3^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

Simplifiez

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Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- (\frac{81}{4} - \frac{1}{4}) + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{81 - 1}{4} + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

Soustrayez $1$ de $81$ .

$- \frac{80}{4} + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

Annulez le facteur commun à $80$ et $4$ .

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Factorisez $4$ à partir de $80$ .

$- \frac{4 \cdot 20}{4} + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$- \frac{4 \cdot 20}{4 (1)} + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

Annulez le facteur commun.

$- \frac{4 \cdot 20}{4 \cdot 1} + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

Réécrivez l’expression.

$- \frac{20}{1} + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

Divisez $20$ par $1$ .

$- 1 \cdot 20 + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

Multipliez $- 1$ par $20$ .

$- 20 + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

Multipliez $8$ par $3$ .

$- 20 + 24 - 8 \cdot 1$

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$- 20 + 24 - 8$

Soustrayez $8$ de $24$ .

$- 20 + 16$

Additionnez $- 20$ et $16$ .

$- 4$

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{1}^{3} x^{3} - 8 - (0) d x$

Soustrayez $0$ de $x^{3} - 8$ .

$\int_{1}^{3} x^{3} - 8 d x$

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{3} x^{3} d x + \int_{1}^{3} - 8 d x$

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} - 8 d x$

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{3} + - 8 x]_{1}^{3}$

Simplifiez la réponse.

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Associez $\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{3}$ et $- 8 x]_{1}^{3}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} - 8 x]_{1}^{3}$

Remplacez et simplifiez.

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Évaluez $\frac{1}{4} x^{4} - 8 x$ sur $3$ et sur $1$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 3^{4} - 8 \cdot 3) - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

Simplifiez

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Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$\frac{1}{4} \cdot 81 - 8 \cdot 3 - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

Associez $\frac{1}{4}$ et $81$ .

$\frac{81}{4} - 8 \cdot 3 - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

Multipliez $- 8$ par $3$ .

$\frac{81}{4} - 24 - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

Pour écrire $- 24$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{81}{4} - 24 \cdot \frac{4}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

Associez $- 24$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{81}{4} + \frac{- 24 \cdot 4}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{81 - 24 \cdot 4}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

Simplifiez le numérateur.

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Multipliez $- 24$ par $4$ .

$\frac{81 - 96}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

Soustrayez $96$ de $81$ .

$\frac{- 15}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{15}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{15}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1 - 8 \cdot 1)$

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $1$ .

$- \frac{15}{4} - (\frac{1}{4} - 8 \cdot 1)$

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$- \frac{15}{4} - (\frac{1}{4} - 8)$

Pour écrire $- 8$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{15}{4} - (\frac{1}{4} - 8 \cdot \frac{4}{4})$

Associez $- 8$ et $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{15}{4} - (\frac{1}{4} + \frac{- 8 \cdot 4}{4})$

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{15}{4} - \frac{1 - 8 \cdot 4}{4}$

Simplifiez le numérateur.

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Multipliez $- 8$ par $4$ .

$- \frac{15}{4} - \frac{1 - 32}{4}$

Soustrayez $32$ de $1$ .

$- \frac{15}{4} - \frac{- 31}{4}$

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{15}{4} - - \frac{31}{4}$

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{15}{4} + 1 (\frac{31}{4})$

Multipliez $\frac{31}{4}$ par $1$ .

$- \frac{15}{4} + \frac{31}{4}$

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 15 + 31}{4}$

Additionnez $- 15$ et $31$ .

$\frac{16}{4}$

Annulez le facteur commun à $16$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4}$

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{1}$

Divisez $4$ par $1$ .

$4$

Step 4