Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{\sqrt{t}}{2 t - 1}$

Step 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{t}$ comme $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{t^{\frac{1}{2}}}{2 t - 1}]$

Step 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ est $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ où $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ et $g (t) = 2 t - 1$ .

$\frac{(2 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [2 t - 1]}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Step 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{(2 t - 1) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [2 t - 1]}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Step 4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(2 t - 1) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [2 t - 1]}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Step 5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(2 t - 1) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [2 t - 1]}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Step 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(2 t - 1) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [2 t - 1]}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Step 7

Simplifiez le numérateur.

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Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{(2 t - 1) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [2 t - 1]}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{(2 t - 1) (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [2 t - 1]}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Step 8

Associez les fractions.

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Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{(2 t - 1) (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [2 t - 1]}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Associez $\frac{1}{2}$ et $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{(2 t - 1) \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2} - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [2 t - 1]}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Placez $t^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(2 t - 1) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [2 t - 1]}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Step 9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 t - 1$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{(2 t - 1) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 1])}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Step 10

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 t$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(2 t - 1) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}} (2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1])}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Step 11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(2 t - 1) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 1])}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Step 12

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{(2 t - 1) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}} (2 + \frac{d}{d t} [- 1])}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Step 13

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$\frac{(2 t - 1) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}} (2 + 0)}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Step 14

Simplifiez l’expression.

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Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{(2 t - 1) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{(2 t - 1) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 t^{\frac{1}{2}}}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Step 15

Simplifiez

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Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 t \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 t^{\frac{1}{2}}}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Simplifiez le numérateur.

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Simplifiez chaque terme.

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Annulez le facteur commun de $2$ .

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Factorisez $2$ à partir de $2 t$ .

$\frac{2 (t) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 t^{\frac{1}{2}}}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Factorisez $2$ à partir de $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (t) \frac{1}{2 (t^{\frac{1}{2}})} - 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 t^{\frac{1}{2}}}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 t \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 t^{\frac{1}{2}}}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Réécrivez l’expression.

$\frac{t \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 t^{\frac{1}{2}}}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Associez $t$ et $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{t}{t^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 t^{\frac{1}{2}}}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Placez $t^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{t \cdot t^{- \frac{1}{2}} - 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 t^{\frac{1}{2}}}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Multipliez $t$ par $t^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Multipliez $t$ par $t^{- \frac{1}{2}}$ .

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Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\frac{t^{1} t^{- \frac{1}{2}} - 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 t^{\frac{1}{2}}}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{t^{1 - \frac{1}{2}} - 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 t^{\frac{1}{2}}}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{t^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 t^{\frac{1}{2}}}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{t^{\frac{2 - 1}{2}} - 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 t^{\frac{1}{2}}}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} - 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 t^{\frac{1}{2}}}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Réécrivez $- 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ comme $- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 t^{\frac{1}{2}}}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Soustrayez $2 t^{\frac{1}{2}}$ de $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- t^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Simplifiez le numérateur.

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Factorisez $- 1$ à partir de $- t^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Factorisez $- 1$ à partir de $- t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- (t^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Factorisez $- 1$ à partir de $- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- (t^{\frac{1}{2}}) - (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}})}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Factorisez $- 1$ à partir de $- (t^{\frac{1}{2}}) - (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}})$ .

$\frac{- (t^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}})}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Pour écrire $t^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- (t^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}})}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Associez $t^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- (\frac{t^{\frac{1}{2}} (2 t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}})}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- \frac{t^{\frac{1}{2}} (2 t^{\frac{1}{2}}) + 1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Simplifiez le numérateur.

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Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- \frac{2 t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} + 1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Multipliez $t^{\frac{1}{2}}$ par $t^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Déplacez $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- \frac{2 (t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) + 1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- \frac{2 t^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + 1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- \frac{2 t^{\frac{1 + 1}{2}} + 1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- \frac{2 t^{\frac{2}{2}} + 1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{- \frac{2 t^{1} + 1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Simplifiez $2 t^{1}$ .

$\frac{- \frac{2 t + 1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{2 t + 1}{2 t^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Multipliez $\frac{1}{{(2 t - 1)}^{2}}$ par $\frac{2 t + 1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{2 t + 1}{{(2 t - 1)}^{2} (2 t^{\frac{1}{2}})}$

Déplacez $2$ à gauche de ${(2 t - 1)}^{2}$ .

$- \frac{2 t + 1}{2 \cdot {(2 t - 1)}^{2} t^{\frac{1}{2}}}$

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{2 t + 1}{2 {(2 t - 1)}^{2} t^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{2 t + 1}{2 t^{\frac{1}{2}} {(2 t - 1)}^{2}}$