Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{3} - 7 x^{2} - 5 x + 5$

Step 1

Écrivez $y = x^{3} - 7 x^{2} - 5 x + 5$ comme une fonction.

$f (x) = x^{3} - 7 x^{2} - 5 x + 5$

Step 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Différenciez.

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Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 7 x^{2} - 5 x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$ .

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Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 x^{2} - 7 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Multipliez $2$ par $- 7$ .

$3 x^{2} - 14 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 14 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} - 14 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$3 x^{2} - 14 x - 5 + \frac{d}{d x} [5]$

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 x^{2} - 14 x - 5 + 0$

Additionnez $3 x^{2} - 14 x - 5$ et $0$ .

$3 x^{2} - 14 x - 5$

Step 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} - 14 x - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 14 x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 14 x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 14 x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Multipliez $2$ par $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 14 x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 14 x]$ .

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Comme $- 14$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 14 x$ par rapport à $x$ est $- 14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 14 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 5)$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 14 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5)$

Multipliez $- 14$ par $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 14 + \frac{d}{d x} (- 5)$

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 14 + 0$

Additionnez $6 x - 14$ et $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 14$

Step 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$3 x^{2} - 14 x - 5 = 0$

Step 5

Déterminez la dérivée première.

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Déterminez la dérivée première.

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Différenciez.

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Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 7 x^{2} - 5 x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 7 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 7 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$ .

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Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 7 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 7 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Multipliez $2$ par $- 7$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 14 x + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 14 x - 5 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (5)$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 14 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (5)$

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 14 x - 5 + \frac{d}{d x} (5)$

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 14 x - 5 + 0$

Additionnez $3 x^{2} - 14 x - 5$ et $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 14 x - 5$

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2} - 14 x - 5$ .

$3 x^{2} - 14 x - 5$

Step 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} - 14 x - 5 = 0$ .

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Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 x^{2} - 14 x - 5 = 0$

Factorisez par regroupement.

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Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 5 = - 15$ et dont la somme est $b = - 14$ .

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Factorisez $- 14$ à partir de $- 14 x$ .

$3 x^{2} - 14 x - 5 = 0$

Réécrivez $- 14$ comme $1$ plus $- 15$

$3 x^{2} + (1 - 15) x - 5 = 0$

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} + 1 x - 15 x - 5 = 0$

Multipliez $x$ par $1$ .

$3 x^{2} + x - 15 x - 5 = 0$

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(3 x^{2} + x) - 15 x - 5 = 0$

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (3 x + 1) - 5 (3 x + 1) = 0$

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x + 1$ .

$(3 x + 1) (x - 5) = 0$

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 x + 1 = 0$

$x - 5 = 0$

Définissez $3 x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Définissez $3 x + 1$ égal à $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Résolvez $3 x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = - 1$

Divisez chaque terme dans $3 x = - 1$ par $3$ et simplifiez.

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Divisez chaque terme dans $3 x = - 1$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Simplifiez le côté gauche.

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Annulez le facteur commun de $3$ .

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Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Simplifiez le côté droit.

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Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{3}$

Définissez $x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Définissez $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(3 x + 1) (x - 5) = 0$ vraie.

$x = - \frac{1}{3}, 5$

Step 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Step 8

Points critiques à évaluer.

$x = - \frac{1}{3}, 5$

Step 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \frac{1}{3}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$6 (- \frac{1}{3}) - 14$

Step 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Simplifiez chaque terme.

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Annulez le facteur commun de $3$ .

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Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{3}$ dans le numérateur.

$6 (\frac{- 1}{3}) - 14$

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$3 (2) \frac{- 1}{3} - 14$

Annulez le facteur commun.

$3 \cdot 2 \frac{- 1}{3} - 14$

Réécrivez l’expression.

$2 \cdot - 1 - 14$

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 - 14$

Soustrayez $14$ de $- 2$ .

$- 16$

Step 11

$x = - \frac{1}{3}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \frac{1}{3}$ est un maximum local

Step 12

Déterminez la valeur y quand $x = - \frac{1}{3}$ .

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Remplacez la variable $x$ par $- \frac{1}{3}$ dans l’expression.

$f (- \frac{1}{3}) = {(- \frac{1}{3})}^{3} - 7 {(- \frac{1}{3})}^{2} - 5 (- \frac{1}{3}) + 5$

Simplifiez le résultat.

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Simplifiez chaque terme.

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Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{3} {(\frac{1}{3})}^{3} - 7 {(- \frac{1}{3})}^{2} - 5 (- \frac{1}{3}) + 5$

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{1^{3}}{3^{3}}) - 7 {(- \frac{1}{3})}^{2} - 5 (- \frac{1}{3}) + 5$

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1^{3}}{3^{3}} - 7 {(- \frac{1}{3})}^{2} - 5 (- \frac{1}{3}) + 5$

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{3^{3}} - 7 {(- \frac{1}{3})}^{2} - 5 (- \frac{1}{3}) + 5$

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - 7 {(- \frac{1}{3})}^{2} - 5 (- \frac{1}{3}) + 5$

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - 7 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{3})}^{2}) - 5 (- \frac{1}{3}) + 5$

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - 7 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{3^{2}})) - 5 (- \frac{1}{3}) + 5$

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - 7 (1 (\frac{1^{2}}{3^{2}})) - 5 (- \frac{1}{3}) + 5$

Multipliez $\frac{1^{2}}{3^{2}}$ par $1$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - 7 \frac{1^{2}}{3^{2}} - 5 (- \frac{1}{3}) + 5$

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - 7 \frac{1}{3^{2}} - 5 (- \frac{1}{3}) + 5$

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - 7 (\frac{1}{9}) - 5 (- \frac{1}{3}) + 5$

Associez $- 7$ et $\frac{1}{9}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} + \frac{- 7}{9} - 5 (- \frac{1}{3}) + 5$

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - \frac{7}{9} - 5 (- \frac{1}{3}) + 5$

Multipliez $- 5 (- \frac{1}{3})$ .

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Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - \frac{7}{9} + 5 (\frac{1}{3}) + 5$

Associez $5$ et $\frac{1}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - \frac{7}{9} + \frac{5}{3} + 5$

Déterminez le dénominateur commun.

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Multipliez $\frac{7}{9}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - (\frac{7}{9} \cdot \frac{3}{3}) + \frac{5}{3} + 5$

Multipliez $\frac{7}{9}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - \frac{7 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{5}{3} + 5$

Multipliez $\frac{5}{3}$ par $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - \frac{7 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{5}{3} \cdot \frac{9}{9} + 5$

Multipliez $\frac{5}{3}$ par $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - \frac{7 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{5 \cdot 9}{3 \cdot 9} + 5$

Écrivez $5$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - \frac{7 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{5 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{5}{1}$

Multipliez $\frac{5}{1}$ par $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - \frac{7 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{5 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{5}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Multipliez $\frac{5}{1}$ par $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - \frac{7 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{5 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{5 \cdot 27}{27}$

Réorganisez les facteurs de $9 \cdot 3$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - \frac{7 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{5 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{5 \cdot 27}{27}$

Multipliez $3$ par $9$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - \frac{7 \cdot 3}{27} + \frac{5 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{5 \cdot 27}{27}$

Multipliez $3$ par $9$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - \frac{7 \cdot 3}{27} + \frac{5 \cdot 9}{27} + \frac{5 \cdot 27}{27}$

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{- 1 - 7 \cdot 3 + 5 \cdot 9 + 5 \cdot 27}{27}$

Simplifiez chaque terme.

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Multipliez $- 7$ par $3$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{- 1 - 21 + 5 \cdot 9 + 5 \cdot 27}{27}$

Multipliez $5$ par $9$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{- 1 - 21 + 45 + 5 \cdot 27}{27}$

Multipliez $5$ par $27$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{- 1 - 21 + 45 + 135}{27}$

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Soustrayez $21$ de $- 1$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{- 22 + 45 + 135}{27}$

Additionnez $- 22$ et $45$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{23 + 135}{27}$

Additionnez $23$ et $135$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{158}{27}$

La réponse finale est $\frac{158}{27}$ .

$y = \frac{158}{27}$

Step 13

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 5$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$6 (5) - 14$

Step 14

Évaluez la dérivée seconde.

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Multipliez $6$ par $5$ .

$30 - 14$

Soustrayez $14$ de $30$ .

$16$

Step 15

$x = 5$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 5$ est un minimum local

Step 16

Déterminez la valeur y quand $x = 5$ .

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Remplacez la variable $x$ par $5$ dans l’expression.

$f (5) = {(5)}^{3} - 7 {(5)}^{2} - 5 \cdot 5 + 5$

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$f (5) = 125 - 7 {(5)}^{2} - 5 \cdot 5 + 5$

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$f (5) = 125 - 7 \cdot 25 - 5 \cdot 5 + 5$

Multipliez $- 7$ par $25$ .

$f (5) = 125 - 175 - 5 \cdot 5 + 5$

Multipliez $- 5$ par $5$ .

$f (5) = 125 - 175 - 25 + 5$

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Soustrayez $175$ de $125$ .

$f (5) = - 50 - 25 + 5$

Soustrayez $25$ de $- 50$ .

$f (5) = - 75 + 5$

Additionnez $- 75$ et $5$ .

$f (5) = - 70$

La réponse finale est $- 70$ .

$y = - 70$

Step 17

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x^{3} - 7 x^{2} - 5 x + 5$ .

$(- \frac{1}{3}, \frac{158}{27})$ est un maximum local

$(5, - 70)$ est un minimum local

Step 18