Calcul infinitésimal Exemples

$\sqrt{x - 1}$

Step 1

Interchangez les variables.

$x = \sqrt{y - 1}$

Step 2

Résolvez $y$ .

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Réécrivez l’équation comme $\sqrt{y - 1} = x$ .

$\sqrt{y - 1} = x$

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{y - 1}}^{2} = x^{2}$

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y - 1}$ comme ${(y - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Simplifiez le côté gauche.

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Simplifiez ${({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Multipliez les exposants dans ${({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Annulez le facteur commun.

${(y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Réécrivez l’expression.

${(y - 1)}^{1} = x^{2}$

Simplifiez

$y - 1 = x^{2}$

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$y = x^{2} + 1$

Step 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{2} + 1$

Step 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = x^{2} + 1$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt{x - 1}$ .

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Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Évaluez $f^{- 1} (\sqrt{x - 1})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x - 1}) = {(\sqrt{x - 1})}^{2} + 1$

Réécrivez ${\sqrt{x - 1}}^{2}$ comme $x - 1$ .

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Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x - 1}$ comme ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x - 1}) = {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1$

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x - 1}) = {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1$

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x - 1}) = {(x - 1)}^{\frac{2}{2}} + 1$

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\sqrt{x - 1}) = {(x - 1)}^{\frac{2}{2}} + 1$

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\sqrt{x - 1}) = (x - 1) + 1$

Simplifiez

$f^{- 1} (\sqrt{x - 1}) = x - 1 + 1$

Associez les termes opposés dans $x - 1 + 1$ .

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Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x - 1}) = x + 0$

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x - 1}) = x$

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Évaluez $f (x^{2} + 1)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (x^{2} + 1) = \sqrt{(x^{2} + 1) - 1}$

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f (x^{2} + 1) = \sqrt{x^{2} + 0}$

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$f (x^{2} + 1) = \sqrt{x^{2}}$

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (x^{2} + 1) = x$

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = x^{2} + 1$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt{x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} + 1$