Calcul infinitésimal Exemples

$\sqrt{x^{2} - 1}$

Step 1

Interchangez les variables.

$x = \sqrt{y^{2} - 1}$

Step 2

Résolvez $y$ .

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Réécrivez l’équation comme $\sqrt{y^{2} - 1} = x$ .

$\sqrt{y^{2} - 1} = x$

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{y^{2} - 1}}^{2} = x^{2}$

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y^{2} - 1}$ comme ${(y^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Simplifiez le côté gauche.

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Simplifiez ${({(y^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Multipliez les exposants dans ${({(y^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Annulez le facteur commun.

${(y^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Réécrivez l’expression.

${(y^{2} - 1)}^{1} = x^{2}$

Simplifiez

$y^{2} - 1 = x^{2}$

Résolvez $y$ .

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Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$y^{2} = x^{2} + 1$

Prenez la racine carrée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{x^{2} + 1}$

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \sqrt{x^{2} + 1}$

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \sqrt{x^{2} + 1}$

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt{x^{2} + 1}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 1}$

$y = \sqrt{x^{2} + 1}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 1}$

$y = \sqrt{x^{2} + 1}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 1}$

$y = \sqrt{x^{2} + 1}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 1}$

Step 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{x^{2} + 1}, - \sqrt{x^{2} + 1}$

Step 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \sqrt{x^{2} + 1}, - \sqrt{x^{2} + 1}$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$ .

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Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $f (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$ et $f^{- 1} (x) = \sqrt{x^{2} + 1}, - \sqrt{x^{2} + 1}$ puis comparez-les.

Déterminez la plage de $f (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$ .

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La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[0, \infty)$

Find the domain of the inverse.

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Déterminez le domaine de $\sqrt{x^{2} + 1}$ .

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Définissez le radicande dans $\sqrt{x^{2} + 1}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x^{2} + 1 \geq 0$

Résolvez $x$ .

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Soustrayez $1$ des deux côtés de l’inégalité.

$x^{2} \geq - 1$

Comme le côté gauche a une puissance paire, il est toujours positif pour tous les nombres réels.

Tous les nombres réels

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

$(- \infty, \infty)$

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L’union se compose de tous les éléments contenus dans chaque intervalle.

$(- \infty, \infty)$

Comme le domaine de $f^{- 1} (x) = \sqrt{x^{2} + 1}, - \sqrt{x^{2} + 1}$ n’est pas égal à la plage de $f (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$ , $f^{- 1} (x) = \sqrt{x^{2} + 1}, - \sqrt{x^{2} + 1}$ n’est pas un inverse de $f (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$ .

Il n’y a pas d’inverse

Step 5