Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + 4 x)}{x}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} \ln (1 + 4 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.2.1.1

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 + 4 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.2.1.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} 4 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.2.1.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\ln (1 + lim_{x \to 0} 4 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.2.1.4

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\ln (1 + 4 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\ln (1 + 4 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.3.1

Multipliez $4$ par $0$ .

$\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.2.3.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.2.3.3

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + 4 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 4 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 4 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 1 + 4 x$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 + 4 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + 4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + 4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + 4 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 4 x} \frac{d}{d x} [1 + 4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + 4 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 4 x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 4 x} (0 + \frac{d}{d x} [4 x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 4 x} \frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.6

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 4 x} (4 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.7

Associez $4$ et $\frac{1}{1 + 4 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{4}{1 + 4 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{4}{1 + 4 x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.9

Multipliez $\frac{4}{1 + 4 x}$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{4}{1 + 4 x}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.10

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{4}{4 x + 1}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{4}{4 x + 1}}{1}$

Étape 4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{4}{4 x + 1} \cdot 1$

Étape 5

Évaluez la limite.

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Étape 5.1

Multipliez $\frac{4}{4 x + 1}$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4}{4 x + 1}$

Étape 5.2

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{1}{4 x + 1}$

Étape 5.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$4 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 4 x + 1}$

Étape 5.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$4 \frac{1}{lim_{x \to 0} 4 x + 1}$

Étape 5.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$4 \frac{1}{lim_{x \to 0} 4 x + lim_{x \to 0} 1}$

Étape 5.6

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$4 \frac{1}{4 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1}$

Étape 5.7

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$4 \frac{1}{4 lim_{x \to 0} x + 1}$

Étape 6

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$4 \frac{1}{4 \cdot 0 + 1}$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.1.1

Multipliez $4$ par $0$ .

$4 \frac{1}{0 + 1}$

Étape 7.1.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$4 (\frac{1}{1})$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun.

$4 (\frac{1}{1})$

Étape 7.2.2

Réécrivez l’expression.

$4 \cdot 1$

Étape 7.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$4$