Calcul infinitésimal Exemples

$f (x, y) = \ln (x - y)$

Step 1

Déterminez la dérivée première.

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Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x - y$ .

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Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - y$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x - y)$

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$f' (x) = \frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x - y)$

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - y$ .

$f' (x) = \frac{1}{x - y} \cdot \frac{d}{d x} (x - y)$

Différenciez.

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Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$f' (x) = \frac{1}{x - y} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- y))$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{x - y} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (- y))$

Comme $- y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x - y} \cdot (1 + 0)$

Simplifiez l’expression.

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Additionnez $1$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x - y} \cdot 1$

Multipliez $\frac{1}{x - y}$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{x - y}$

Step 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Réécrivez $\frac{1}{x - y}$ comme ${(x - y)}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ({(x - y)}^{- 1})$

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x - y$ .

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Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - y$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x - y)$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f'' (x) = - u^{- 2} \frac{d}{d x} (x - y)$

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - y$ .

$f'' (x) = - {(x - y)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x - y)$

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$f'' (x) = - {(x - y)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- y))$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - {(x - y)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} (- y))$

Comme $- y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - {(x - y)}^{- 2} (1 + 0)$

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = - {(x - y)}^{- 2} \cdot 1$

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (x) = - {(x - y)}^{- 2}$

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{{(x - y)}^{2}}$