Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)}$

Step 1

Déterminez la dérivée première.

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Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 1 - \cos (x)$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$f' (x) = \frac{\sin (x) \frac{d}{d x} (1 - \cos (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x)}{\sin^{2} (x)}$

Différenciez.

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Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$f' (x) = \frac{\sin (x) (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \cos (x))) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x)}{\sin^{2} (x)}$

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{\sin (x) (0 + \frac{d}{d x} (- \cos (x))) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x)}{\sin^{2} (x)}$

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$f' (x) = \frac{\sin (x) \frac{d}{d x} (- \cos (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x)}{\sin^{2} (x)}$

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f' (x) = \frac{\sin (x) (- \frac{d}{d x} \cos (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x)}{\sin^{2} (x)}$

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$f' (x) = \frac{\sin (x) (\sin (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x)}{\sin^{2} (x)}$

Multipliez.

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Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f' (x) = \frac{\sin (x) (1 \sin (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x)}{\sin^{2} (x)}$

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{\sin (x) \sin (x) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x)}{\sin^{2} (x)}$

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = \frac{\sin (x) \sin (x) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x)}{\sin^{2} (x)}$

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = \frac{\sin (x) \sin (x) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x)}{\sin^{2} (x)}$

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = \frac{{\sin (x)}^{1 + 1} - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x)}{\sin^{2} (x)}$

Additionnez $1$ et $1$ .

$f' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x)}{\sin^{2} (x)}$

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$f' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - (1 - \cos (x)) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Simplifiez

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Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{\sin^{2} (x) + (- 1 \cdot 1 + \cos (x)) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - 1 \cdot (1 \cos (x)) + \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Simplifiez le numérateur.

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Simplifiez chaque terme.

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Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - 1 \cos (x) + \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Réécrivez $- 1 \cos (x)$ comme $- \cos (x)$ .

$f' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - \cos (x) + \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Multipliez $- - \cos (x)$ .

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Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - \cos (x) + 1 \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - \cos (x) + \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Multipliez $\cos (x) \cos (x)$ .

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Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - \cos (x) + \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - \cos (x) + \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - \cos (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin^{2} (x)}$

Additionnez $1$ et $1$ .

$f' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - \cos (x) + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Déplacez $\cos^{2} (x)$ .

$f' (x) = \frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) - \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$f' (x) = \frac{1 - \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Step 2

Déterminez la dérivée seconde.

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$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (1 - \cos (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin^{2} (x)}{{(\sin^{2} (x))}^{2}}$

Différenciez.

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Multipliez les exposants dans ${(\sin^{2} (x))}^{2}$ .

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Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (1 - \cos (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin^{2} (x)}{{\sin (x)}^{2 \cdot 2}}$

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (1 - \cos (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin^{2} (x)}{\sin^{4} (x)}$

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \cos (x))) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin^{2} (x)}{\sin^{4} (x)}$

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) (0 + \frac{d}{d x} (- \cos (x))) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin^{2} (x)}{\sin^{4} (x)}$

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (- \cos (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin^{2} (x)}{\sin^{4} (x)}$

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) (- \frac{d}{d x} \cos (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin^{2} (x)}{\sin^{4} (x)}$

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) (\sin (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin^{2} (x)}{\sin^{4} (x)}$

Multipliez.

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Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) (1 \sin (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin^{2} (x)}{\sin^{4} (x)}$

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) \sin (x) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin^{2} (x)}{\sin^{4} (x)}$

Multipliez $\sin^{2} (x)$ par $\sin (x)$ en additionnant les exposants.

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Multipliez $\sin^{2} (x)$ par $\sin (x)$ .

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Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) \sin (x) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin^{2} (x)}{\sin^{4} (x)}$

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{{\sin (x)}^{2 + 1} - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin^{2} (x)}{\sin^{4} (x)}$

Additionnez $2$ et $1$ .

$f'' (x) = \frac{\sin^{3} (x) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin^{2} (x)}{\sin^{4} (x)}$

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

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Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sin (x)$ .

$f'' (x) = \frac{\sin^{3} (x) - (1 - \cos (x)) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\sin (x)))}{\sin^{4} (x)}$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{\sin^{3} (x) - (1 - \cos (x)) (2 u \frac{d}{d x} (\sin (x)))}{\sin^{4} (x)}$

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x)$ .

$f'' (x) = \frac{\sin^{3} (x) - (1 - \cos (x)) (2 \sin (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)))}{\sin^{4} (x)}$

Simplifiez en factorisant.

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Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{\sin^{3} (x) - 2 (1 - \cos (x)) (\sin (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)))}{\sin^{4} (x)}$

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin^{3} (x) - 2 (1 - \cos (x)) \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

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Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin^{3} (x)$ .

$f'' (x) = \frac{\sin (x) \sin^{2} (x) - 2 (1 - \cos (x)) \sin (x) \frac{d}{d x} \sin (x)}{\sin^{4} (x)}$

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $- 2 (1 - \cos (x)) \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{\sin (x) \sin^{2} (x) + \sin (x) (- 2 (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x))}{\sin^{4} (x)}$

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin (x) \sin^{2} (x) + \sin (x) (- 2 (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$ .

$f'' (x) = \frac{\sin (x) (\sin^{2} (x) - 2 (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x))}{\sin^{4} (x)}$

Annulez les facteurs communs.

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Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin^{4} (x)$ .

$f'' (x) = \frac{\sin (x) (\sin^{2} (x) - 2 (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x))}{\sin (x) \sin^{3} (x)}$

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{\sin (x) (\sin^{2} (x) - 2 (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x))}{\sin (x) \sin^{3} (x)}$

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - 2 (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x)}{\sin^{3} (x)}$

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - 2 (1 - \cos (x)) \cos (x)}{\sin^{3} (x)}$

Simplifiez

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Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) + (- 2 \cdot 1 - 2 (- \cos (x))) \cos (x)}{\sin^{3} (x)}$

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - 2 \cdot (1 \cos (x)) - 2 (- \cos (x)) \cos (x)}{\sin^{3} (x)}$

Simplifiez chaque terme.

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Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - 2 \cos (x) - 2 (- \cos (x)) \cos (x)}{\sin^{3} (x)}$

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - 2 \cos (x) + 2 \cos (x) \cos (x)}{\sin^{3} (x)}$

Multipliez $2 \cos (x) \cos (x)$ .

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Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - 2 \cos (x) + 2 (\cos (x) \cos (x))}{\sin^{3} (x)}$

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - 2 \cos (x) + 2 (\cos (x) \cos (x))}{\sin^{3} (x)}$

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - 2 \cos (x) + 2 {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin^{3} (x)}$

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - 2 \cos (x) + 2 \cos^{2} (x)}{\sin^{3} (x)}$

Step 3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{\sin^{2} (x) - 2 \cos (x) + 2 \cos^{2} (x)}{\sin^{3} (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - 2 \cos (x) + 2 \cos^{2} (x)}{\sin^{3} (x)}$