Calcul infinitésimal Exemples

$\sin (\frac{x}{2})$

Step 1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \frac{x}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x}{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$f' (x) = \cos (u) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{2}$ .

$f' (x) = \cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

Associez $\frac{1}{2}$ et $\cos (\frac{x}{2})$ .

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

Multipliez $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

Step 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} = 0$

Définissez le numérateur égal à zéro.

$\cos (\frac{x}{2}) = 0$

Résolvez l’équation pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$\frac{x}{2} = \arccos (0)$

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$

Comme l’expression de chaque côté de l’équation a le même dénominateur, les numérateurs doivent être égaux.

$x = π$

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$\frac{x}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Réécrivez l’expression.

$x = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Simplifiez $2 (2 π - \frac{π}{2})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Annulez le facteur commun.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Réécrivez l’expression.

$x = 2 π \cdot 2 - π$

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = 4 π - π$

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x = 3 π$

Déterminez la période de $\cos (\frac{x}{2})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Remplacez $b$ par $\frac{1}{2}$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

$\frac{1}{2}$ est d’environ $0.5$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 π \cdot 2$

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 π$

La période de la fonction $\cos (\frac{x}{2})$ est $4 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $4 π$ radians dans les deux sens.

$x = π + 4 π n, 3 π + 4 π n$ , pour tout entier $n$

Consolidez les réponses.

$x = π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Step 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Step 4

Évaluez $\sin (\frac{x}{2})$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Évaluez sur $x = π$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Remplacez $x$ par $π$ .

$\sin (\frac{π}{2})$

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$1$

Évaluez sur $x = 3 π$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Remplacez $x$ par $3 π$ .

$\sin (\frac{3 π}{2})$

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$- \sin (\frac{π}{2})$

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Indiquez tous les points.

$(π + 4 π n, 1), (3 π + 4 π n, - 1)$ , pour tout entier $n$

Step 5