Calcul infinitésimal Exemples

$1 - 2 \sin (x)$

Step 1

Écrivez $1 - 2 \sin (x)$ comme une fonction.

$f (x) = 1 - 2 \sin (x)$

Step 2

Déterminez la dérivée première.

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Déterminez la dérivée première.

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Différenciez.

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Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - 2 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

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Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} \sin (x)$

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$f' (x) = 0 - 2 \cos (x)$

Soustrayez $2 \cos (x)$ de $0$ .

$f' (x) = - 2 \cos (x)$

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 \cos (x)$ .

$- 2 \cos (x)$

Step 3

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 2 \cos (x) = 0$ .

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Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 2 \cos (x) = 0$

Divisez chaque terme dans $- 2 \cos (x) = 0$ par $- 2$ et simplifiez.

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Divisez chaque terme dans $- 2 \cos (x) = 0$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Simplifiez le côté gauche.

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Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$\cos (x) = \frac{0}{- 2}$

Simplifiez le côté droit.

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Divisez $0$ par $- 2$ .

$\cos (x) = 0$

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (0)$

Simplifiez le côté droit.

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La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Simplifiez $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Associez les fractions.

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Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Simplifiez le numérateur.

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Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$

Step 4

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $\frac{π}{2} + π n$ .

$\frac{π}{2} + π n$

Step 5

Après avoir trouvé le point qui rend la dérivée $f' (x) = - 2 \cos (x)$ égale à $0$ ou indéfinie, l’intervalle pour vérifier où $f (x) = 1 - 2 \sin (x)$ augmente et diminue est $(- \infty, \frac{π}{2} + π n) \cup (\frac{π}{2} + π n, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{π}{2} + π n) \cup (\frac{π}{2} + π n, \infty)$

Step 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, \frac{π}{2} + π n)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{2} + π n - 1$ dans l’expression.

$f' (\frac{π}{2} + π n - 1) = - 2 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$

La réponse finale est $- 2 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$ .

$- 2 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$

Simplifiez

$- 2 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$

Sur $x = \frac{π}{2} + π n - 1$ la dérivée est $- 2 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, \frac{π}{2} + π n)$ .

Diminue sur $(- \infty, \frac{π}{2} + π n)$ depuis $f' (x) < 0$

Step 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(\frac{π}{2} + π n, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{2} + π n + 1$ dans l’expression.

$f' (\frac{π}{2} + π n + 1) = - 2 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$

La réponse finale est $- 2 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$ .

$- 2 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$

Simplifiez

$- 2 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$

Sur $x = \frac{π}{2} + π n + 1$ la dérivée est $- 2 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(\frac{π}{2} + π n, \infty)$ .

Diminue sur $(\frac{π}{2} + π n, \infty)$ depuis $f' (x) < 0$

Step 8

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Diminue sur : $(- \infty, \frac{π}{2} + π n), (\frac{π}{2} + π n, \infty)$

Step 9