Calcul infinitésimal Exemples

$\cos (\frac{2 x}{3})$

Step 1

Écrivez $\cos (\frac{2 x}{3})$ comme une fonction.

$f (x) = \cos (\frac{2 x}{3})$

Step 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Step 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \cos (\frac{2 x}{3}) d x$

Step 4

Laissez $u = \frac{2 x}{3}$ . Alors $d u = \frac{2}{3} d x$ , donc $\frac{3}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Laissez $u = \frac{2 x}{3}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Différenciez $\frac{2 x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}]$

Comme $\frac{2}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2 x}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2}{3} \cdot 1$

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $1$ .

$\frac{2}{3}$

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \cos (u) \frac{1}{\frac{2}{3}} d u$

Step 5

Simplifiez

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Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{2}{3}$ .

$\int \cos (u) (1 (\frac{3}{2})) d u$

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $1$ .

$\int \cos (u) \frac{3}{2} d u$

Associez $\cos (u)$ et $\frac{3}{2}$ .

$\int \frac{\cos (u) \cdot 3}{2} d u$

Déplacez $3$ à gauche de $\cos (u)$ .

$\int \frac{3 \cos (u)}{2} d u$

Step 6

Comme $\frac{3}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{3}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{3}{2} \int \cos (u) d u$

Step 7

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$\frac{3}{2} (\sin (u) + C)$

Step 8

Simplifiez

$\frac{3}{2} \sin (u) + C$

Step 9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{2 x}{3}$ .

$\frac{3}{2} \sin (\frac{2 x}{3}) + C$

Step 10

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{3}{2} \sin (\frac{2}{3} x) + C$

Step 11

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \cos (\frac{2 x}{3})$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{2} \sin (\frac{2}{3} x) + C$