Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{x \sqrt{\ln (x)}}$

Step 1

Écrivez $\frac{1}{x \sqrt{\ln (x)}}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{1}{x \sqrt{\ln (x)}}$

Step 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Step 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{1}{x \sqrt{\ln (x)}} d x$

Step 4

Laissez $u = \ln (x)$ . Alors $d u = \frac{1}{x} d x$ , donc $x d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Laissez $u = \ln (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Différenciez $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Step 5

Appliquez les règles de base des exposants.

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Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Retirez $u^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Step 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Step 7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\ln (x)$ .

$2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} + C$

Step 8

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{1}{x \sqrt{\ln (x)}}$ .

$F (x) =$ $2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} + C$