Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sin^{3} (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sin (x)$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 3 u^{2} \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x)$ .

$f' (x) = 3 \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Étape 1.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$f' (x) = 3 \sin^{2} (x) \cos (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 \sin^{2} (x) \cos (x)$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) \cos (x)]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (\sin^{2} (x) \cos (x))$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sin^{2} (x)$ et $g (x) = \cos (x)$ .

$f'' (x) = 3 (\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (\sin^{2} (x)))$

Étape 2.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 3 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (\sin^{2} (x)))$

Étape 2.4

Multipliez $\sin^{2} (x)$ par $\sin (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.1

Déplacez $\sin (x)$ .

$f'' (x) = 3 (\sin (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} (\sin^{2} (x)))$

Étape 2.4.2

Multipliez $\sin (x)$ par $\sin^{2} (x)$ .

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Étape 2.4.2.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 3 (\sin (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} (\sin^{2} (x)))$

Étape 2.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 3 ({\sin (x)}^{1 + 2} \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} (\sin^{2} (x)))$

Étape 2.4.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = 3 (\sin^{3} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} (\sin^{2} (x)))$

Étape 2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.5.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $\sin^{3} (x)$ .

$f'' (x) = 3 (- 1 \cdot \sin^{3} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} (\sin^{2} (x)))$

Étape 2.5.2

Réécrivez $- 1 \sin^{3} (x)$ comme $- \sin^{3} (x)$ .

$f'' (x) = 3 (- \sin^{3} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} (\sin^{2} (x)))$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

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Étape 2.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sin (x)$ .

$f'' (x) = 3 (- \sin^{3} (x) + \cos (x) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\sin (x))))$

Étape 2.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (- \sin^{3} (x) + \cos (x) (2 u \frac{d}{d x} (\sin (x))))$

Étape 2.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x)$ .

$f'' (x) = 3 (- \sin^{3} (x) + \cos (x) (2 \sin (x) \frac{d}{d x} (\sin (x))))$

Étape 2.7

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 3 (- \sin^{3} (x) + 2 \cdot (\cos (x) \sin (x)) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Étape 2.8

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 3 (- \sin^{3} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) \cos (x))$

Étape 2.9

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 3 (- \sin^{3} (x) + 2 (\cos (x) \cos (x)) \sin (x))$

Étape 2.10

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 3 (- \sin^{3} (x) + 2 (\cos (x) \cos (x)) \sin (x))$

Étape 2.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 3 (- \sin^{3} (x) + 2 {\cos (x)}^{1 + 1} \sin (x))$

Étape 2.12

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = 3 (- \sin^{3} (x) + 2 \cos^{2} (x) \sin (x))$

Étape 2.13

Simplifiez

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Étape 2.13.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = 3 (- \sin^{3} (x)) + 3 (2 \cos^{2} (x) \sin (x))$

Étape 2.13.2

Associez des termes.

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Étape 2.13.2.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f'' (x) = - 3 \sin^{3} (x) + 3 (2 \cos^{2} (x) \sin (x))$

Étape 2.13.2.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$f'' (x) = - 3 \sin^{3} (x) + 6 \cos^{2} (x) \sin (x)$

Étape 2.13.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = 6 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin^{3} (x)$

Étape 3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $6 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin^{3} (x)$ .

$6 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin^{3} (x)$