Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 \sec (x)$

Step 1

Déterminez la dérivée première.

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Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \sec (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\sec (x))$

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$f' (x) = 2 \sec (x) \tan (x)$

Step 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \sec (x) \tan (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\sec (x) \tan (x)]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\sec (x) \tan (x))$

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sec (x)$ et $g (x) = \tan (x)$ .

$f'' (x) = 2 (\sec (x) \frac{d}{d x} (\tan (x)) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$f'' (x) = 2 (\sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Multipliez $\sec (x)$ par $\sec^{2} (x)$ en additionnant les exposants.

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Multipliez $\sec (x)$ par $\sec^{2} (x)$ .

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Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 2 (\sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 2 ({\sec (x)}^{1 + 2} + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = 2 (\sec^{3} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$f'' (x) = 2 (\sec^{3} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)))$

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 2 (\sec^{3} (x) + \tan (x) \tan (x) \sec (x))$

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 2 (\sec^{3} (x) + \tan (x) \tan (x) \sec (x))$

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 2 (\sec^{3} (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x))$

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = 2 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x))$

Simplifiez

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Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = 2 \sec^{3} (x) + 2 (\tan^{2} (x) \sec (x))$

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = 2 \tan^{2} (x) \sec (x) + 2 \sec^{3} (x)$

Step 3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $2 \tan^{2} (x) \sec (x) + 2 \sec^{3} (x)$ .

$2 \tan^{2} (x) \sec (x) + 2 \sec^{3} (x)$