Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x \ln (x)$

Step 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Associez $x$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Annulez le facteur commun.

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Réécrivez l’expression.

$1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \ln (x) \cdot 1$

Multipliez $\ln (x)$ par $1$ .

$1 + \ln (x)$

Step 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Différenciez.

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Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (\ln (x))$

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\ln (x))$

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{x}$

Additionnez $0$ et $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{x}$

Step 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$1 + \ln (x) = 0$

Step 4

Déterminez la dérivée première.

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Déterminez la dérivée première.

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Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)$

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)$

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Associez $x$ et $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = \frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)$

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Annulez le facteur commun.

$f' (x) = \frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)$

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = 1 + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \ln (x) \cdot 1$

Multipliez $\ln (x)$ par $1$ .

$f' (x) = 1 + \ln (x)$

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $1 + \ln (x)$ .

$1 + \ln (x)$

Step 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $1 + \ln (x) = 0$ .

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Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$1 + \ln (x) = 0$

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\ln (x) = - 1$

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (x)} = e^{- 1}$

Réécrivez $\ln (x) = - 1$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- 1} = x$

Résolvez $x$ .

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Réécrivez l’équation comme $x = e^{- 1}$ .

$x = e^{- 1}$

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e}$

Step 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Définissez l’argument dans $\ln (x)$ inférieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x \leq 0$

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Step 7

Points critiques à évaluer.

$x = \frac{1}{e}$

Step 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{1}{e}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{1}{\frac{1}{e}}$

Step 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$1 e$

Multipliez $e$ par $1$ .

$e$

Step 10

$x = \frac{1}{e}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{1}{e}$ est un minimum local

Step 11

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{1}{e}$ .

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Remplacez la variable $x$ par $\frac{1}{e}$ dans l’expression.

$f (\frac{1}{e}) = (\frac{1}{e}) \ln (\frac{1}{e})$

Simplifiez le résultat.

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Réécrivez $\frac{1}{e}$ comme $1 e^{- 1}$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (1 e^{- 1})$

Réécrivez $\ln (1 e^{- 1})$ comme $\ln (1) + \ln (e^{- 1})$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1) + \ln (e^{- 1}))$

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $- 1$ de l’exposant.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1) - \ln (e))$

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1) - 1 \cdot 1)$

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1) - 1)$

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (0 - 1)$

Soustrayez $1$ de $0$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot - 1$

Associez $\frac{1}{e}$ et $- 1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{- 1}{e}$

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{1}{e}) = - \frac{1}{e}$

La réponse finale est $- \frac{1}{e}$ .

$y = - \frac{1}{e}$

Step 12

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x \ln (x)$ .

$(\frac{1}{e}, - \frac{1}{e})$ est un minimum local

Step 13