Calcul infinitésimal Exemples

$\ln^{3} (x)$

Step 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \ln^{3} (x)$ et $d v = 1$ .

$\ln^{3} (x) x - \int x \frac{3 \ln^{2} (x)}{x} d x$

Step 2

Simplifiez

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Associez $x$ et $\frac{3 \ln^{2} (x)}{x}$ .

$\ln^{3} (x) x - \int \frac{x (3 \ln^{2} (x))}{x} d x$

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Annulez le facteur commun.

$\ln^{3} (x) x - \int \frac{x (3 \ln^{2} (x))}{x} d x$

Divisez $3 \ln^{2} (x)$ par $1$ .

$\ln^{3} (x) x - \int 3 \ln^{2} (x) d x$

Step 3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$\ln^{3} (x) x - (3 \int \ln^{2} (x) d x)$

Step 4

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\ln^{3} (x) x - 3 \int \ln^{2} (x) d x$

Step 5

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \ln^{2} (x)$ et $d v = 1$ .

$\ln^{3} (x) x - 3 (\ln^{2} (x) x - \int x \frac{\ln (x^{2})}{x} d x)$

Step 6

Simplifiez

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Associez $x$ et $\frac{\ln (x^{2})}{x}$ .

$\ln^{3} (x) x - 3 (\ln^{2} (x) x - \int \frac{x \ln (x^{2})}{x} d x)$

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Annulez le facteur commun.

$\ln^{3} (x) x - 3 (\ln^{2} (x) x - \int \frac{x \ln (x^{2})}{x} d x)$

Divisez $\ln (x^{2})$ par $1$ .

$\ln^{3} (x) x - 3 (\ln^{2} (x) x - \int \ln (x^{2}) d x)$

$\ln^{3} (x) x - 3 (\ln^{2} (x) x - \int 2 \ln (x) d x)$

Step 7

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\ln^{3} (x) x - 3 (\ln^{2} (x) x - (2 \int \ln (x) d x))$

Step 8

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\ln^{3} (x) x - 3 (\ln^{2} (x) x - 2 \int \ln (x) d x)$

Step 9

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \ln (x)$ et $d v = 1$ .

$\ln^{3} (x) x - 3 (\ln^{2} (x) x - 2 (\ln (x) x - \int x \frac{1}{x} d x))$

Step 10

Simplifiez

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Associez $x$ et $\frac{1}{x}$ .

$\ln^{3} (x) x - 3 (\ln^{2} (x) x - 2 (\ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x))$

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Annulez le facteur commun.

$\ln^{3} (x) x - 3 (\ln^{2} (x) x - 2 (\ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x))$

Réécrivez l’expression.

$\ln^{3} (x) x - 3 (\ln^{2} (x) x - 2 (\ln (x) x - \int d x))$

Step 11

Appliquez la règle de la constante.

$\ln^{3} (x) x - 3 (\ln^{2} (x) x - 2 (\ln (x) x - (x + C)))$

Step 12

Réécrivez $\ln^{3} (x) x - 3 (\ln^{2} (x) x - 2 (\ln (x) x - (x + C)))$ comme $\ln^{3} (x) x - 3 (\ln^{2} (x) x - 2 \ln (x) x + 2 x) + C$ .

$\ln^{3} (x) x - 3 (\ln^{2} (x) x - 2 \ln (x) x + 2 x) + C$