Calcul infinitésimal Exemples

$x - \ln (x)$

Step 1

Écrivez $x - \ln (x)$ comme une fonction.

$f (x) = x - \ln (x)$

Step 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Déterminez la dérivée première.

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Différenciez.

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Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - \ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \ln (x))$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (- \ln (x))$

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

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Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \ln (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$f' (x) = 1 - \frac{d}{d x} \ln (x)$

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = 1 - \frac{1}{x}$

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - \frac{1}{x} + 1$

Déterminez la dérivée seconde.

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Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{1}{x} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (1)$

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

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Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = - 1$ et $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} x^{- 1} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f'' (x) = x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Multipliez $x^{- 2}$ par $1$ .

$f'' (x) = x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $0$ .

$f'' (x) = x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Additionnez $x^{- 2}$ et $0$ .

$f'' (x) = x^{- 2} + \frac{d}{d x} (1)$

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = x^{- 2} + 0$

Simplifiez

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Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}} + 0$

Additionnez $\frac{1}{x^{2}}$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}}$

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Step 3

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{1}{x^{2}} = 0$ .

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Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} = 0$

Définissez le numérateur égal à zéro.

$1 = 0$

Comme $1 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Step 4

Aucune valeur trouvée qui peut rendre la dérivée seconde égale à $0$ .

Aucun point d’inflexion