Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = e^{\sin (x)}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sin (x)$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{u} \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x)$ .

$f' (x) = e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Étape 1.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$f' (x) = e^{\sin (x)} \cos (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = e^{\sin (x)}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

$f'' (x) = e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)})$

Étape 2.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = e^{\sin (x)} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)})$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sin (x)$ .

$f'' (x) = e^{\sin (x)} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = e^{\sin (x)} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{u} \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x)$ .

$f'' (x) = e^{\sin (x)} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Étape 2.4

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$f'' (x) = e^{\sin (x)} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{\sin (x)} \cos (x)$

Étape 2.5

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = e^{\sin (x)} (- \sin (x)) + \cos (x) \cos (x) e^{\sin (x)}$

Étape 2.6

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = e^{\sin (x)} (- \sin (x)) + \cos (x) \cos (x) e^{\sin (x)}$

Étape 2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = e^{\sin (x)} (- \sin (x)) + {\cos (x)}^{1 + 1} e^{\sin (x)}$

Étape 2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = e^{\sin (x)} (- \sin (x)) + \cos^{2} (x) e^{\sin (x)}$

Étape 2.9

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = - e^{\sin (x)} \sin (x) + e^{\sin (x)} \cos^{2} (x)$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- e^{\sin (x)} \sin (x) + e^{\sin (x)} \cos^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- e^{\sin (x)} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [e^{\sin (x)} \cos^{2} (x)]$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (- e^{\sin (x)} \sin (x)) + \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)} \cos^{2} (x))$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- e^{\sin (x)} \sin (x)]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- e^{\sin (x)} \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [e^{\sin (x)} \sin (x)]$ .

$f''' (x) = - \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)} \sin (x)) + \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)} \cos^{2} (x))$

Étape 3.2.2

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)})) + \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)} \cos^{2} (x))$

Étape 3.2.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)})) + \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)} \cos^{2} (x))$

Étape 3.2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

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Étape 3.2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\sin (x)$ .

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (\sin (x)))) + \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)} \cos^{2} (x))$

Étape 3.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (\sin (x)))) + \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)} \cos^{2} (x))$

Étape 3.2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\sin (x)$ .

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) (e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} (\sin (x)))) + \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)} \cos^{2} (x))$

Étape 3.2.5

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)) + \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)} \cos^{2} (x))$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{\sin (x)} \cos^{2} (x)]$ .

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Étape 3.3.1

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)) + e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x)) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)})$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

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Étape 3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\cos (x)$ .

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)) + e^{\sin (x)} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)})$

Étape 3.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)) + e^{\sin (x)} (2 u_{2} \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)})$

Étape 3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\cos (x)$ .

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)) + e^{\sin (x)} (2 \cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)})$

Étape 3.3.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)) + e^{\sin (x)} (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)})$

Étape 3.3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

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Étape 3.3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $\sin (x)$ .

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)) + e^{\sin (x)} (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \cos^{2} (x) (\frac{d}{d u (3)} (e^{u_{3}}) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Étape 3.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ est $a^{u_{3}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)) + e^{\sin (x)} (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \cos^{2} (x) (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Étape 3.3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $\sin (x)$ .

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)) + e^{\sin (x)} (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \cos^{2} (x) (e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Étape 3.3.5

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)) + e^{\sin (x)} (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \cos^{2} (x) (e^{\sin (x)} \cos (x))$

Étape 3.3.6

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)) + e^{\sin (x)} (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \cos^{2} (x) (e^{\sin (x)} \cos (x))$

Étape 3.3.7

Multipliez $\cos^{2} (x)$ par $\cos (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.7.1

Déplacez $\cos (x)$ .

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)) + e^{\sin (x)} (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \cos (x) \cos^{2} (x) e^{\sin (x)}$

Étape 3.3.7.2

Multipliez $\cos (x)$ par $\cos^{2} (x)$ .

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Étape 3.3.7.2.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)) + e^{\sin (x)} (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \cos (x) \cos^{2} (x) e^{\sin (x)}$

Étape 3.3.7.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)) + e^{\sin (x)} (- 2 \cos (x) \sin (x)) + {\cos (x)}^{1 + 2} e^{\sin (x)}$

Étape 3.3.7.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)) + e^{\sin (x)} (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \cos^{3} (x) e^{\sin (x)}$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x)) - (\sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)) + e^{\sin (x)} (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \cos^{3} (x) e^{\sin (x)}$

Étape 3.4.2

Associez des termes.

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Étape 3.4.2.1

Réorganisez les facteurs de $- \sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)$ .

$f''' (x) = - e^{\sin (x)} \cos (x) - e^{\sin (x)} \cos (x) \sin (x) + e^{\sin (x)} (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \cos^{3} (x) e^{\sin (x)}$

Étape 3.4.2.2

Additionnez $- e^{\sin (x)} \cos (x) \sin (x)$ et $e^{\sin (x)} (- 2 \cos (x) \sin (x))$ .

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Étape 3.4.2.2.1

Remettez dans l’ordre $e^{\sin (x)}$ et $- 2$ .

$f''' (x) = - e^{\sin (x)} \cos (x) - e^{\sin (x)} \cos (x) \sin (x) - 2 \cdot (e^{\sin (x)} \cos (x) \sin (x)) + \cos^{3} (x) e^{\sin (x)}$

Étape 3.4.2.2.2

Soustrayez $2 \cdot e^{\sin (x)} \cos (x) \sin (x)$ de $- e^{\sin (x)} \cos (x) \sin (x)$ .

$f''' (x) = - e^{\sin (x)} \cos (x) - 3 e^{\sin (x)} \cos (x) \sin (x) + \cos^{3} (x) e^{\sin (x)}$

Étape 3.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f''' (x) = - e^{\sin (x)} \cos (x) - 3 e^{\sin (x)} \cos (x) \sin (x) + e^{\sin (x)} \cos^{3} (x)$

Étape 3.4.4

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $- e^{\sin (x)} \cos (x) - 3 e^{\sin (x)} \cos (x) \sin (x) + e^{\sin (x)} \cos^{3} (x)$ .

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Étape 3.4.4.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $- e^{\sin (x)} \cos (x)$ .

$f''' (x) = \cos (x) (- e^{\sin (x)}) - 3 e^{\sin (x)} \cos (x) \sin (x) + e^{\sin (x)} \cos^{3} (x)$

Étape 3.4.4.2

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $- 3 e^{\sin (x)} \cos (x) \sin (x)$ .

$f''' (x) = \cos (x) (- e^{\sin (x)}) + \cos (x) (- 3 e^{\sin (x)} \sin (x)) + e^{\sin (x)} \cos^{3} (x)$

Étape 3.4.4.3

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $e^{\sin (x)} \cos^{3} (x)$ .

$f''' (x) = \cos (x) (- e^{\sin (x)}) + \cos (x) (- 3 e^{\sin (x)} \sin (x)) + \cos (x) (e^{\sin (x)} \cos^{2} (x))$

Étape 3.4.4.4

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos (x) (- e^{\sin (x)}) + \cos (x) (- 3 e^{\sin (x)} \sin (x))$ .

$f''' (x) = \cos (x) (- e^{\sin (x)} - 3 e^{\sin (x)} \sin (x)) + \cos (x) (e^{\sin (x)} \cos^{2} (x))$

Étape 3.4.4.5

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos (x) (- e^{\sin (x)} - 3 e^{\sin (x)} \sin (x)) + \cos (x) (e^{\sin (x)} \cos^{2} (x))$ .

$f''' (x) = \cos (x) (- e^{\sin (x)} - 3 e^{\sin (x)} \sin (x) + e^{\sin (x)} \cos^{2} (x))$

Étape 3.4.5

Déplacez $e^{\sin (x)} \cos^{2} (x)$ .

$f''' (x) = \cos (x) (- e^{\sin (x)} + e^{\sin (x)} \cos^{2} (x) - 3 e^{\sin (x)} \sin (x))$

Étape 3.4.6

Factorisez $- e^{\sin (x)}$ à partir de $- e^{\sin (x)}$ .

$f''' (x) = \cos (x) (- e^{\sin (x)} \cdot 1 + e^{\sin (x)} \cos^{2} (x) - 3 e^{\sin (x)} \sin (x))$

Étape 3.4.7

Factorisez $- e^{\sin (x)}$ à partir de $e^{\sin (x)} \cos^{2} (x)$ .

$f''' (x) = \cos (x) (- e^{\sin (x)} \cdot 1 - e^{\sin (x)} (- 1 \cos^{2} (x)) - 3 e^{\sin (x)} \sin (x))$

Étape 3.4.8

Factorisez $- e^{\sin (x)}$ à partir de $- e^{\sin (x)} (1) - e^{\sin (x)} (- 1 \cos^{2} (x))$ .

$f''' (x) = \cos (x) (- e^{\sin (x)} (1 - 1 \cos^{2} (x)) - 3 e^{\sin (x)} \sin (x))$

Étape 3.4.9

Réécrivez $- 1 \cos^{2} (x)$ comme $- \cos^{2} (x)$ .

$f''' (x) = \cos (x) (- e^{\sin (x)} (1 - \cos^{2} (x)) - 3 e^{\sin (x)} \sin (x))$

Étape 3.4.10

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$f''' (x) = \cos (x) (- e^{\sin (x)} \sin^{2} (x) - 3 e^{\sin (x)} \sin (x))$

Étape 3.4.11

Appliquez la propriété distributive.

$f''' (x) = \cos (x) (- e^{\sin (x)} \sin^{2} (x)) + \cos (x) (- 3 e^{\sin (x)} \sin (x))$

Étape 3.4.12

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f''' (x) = - \cos (x) e^{\sin (x)} \sin^{2} (x) + \cos (x) (- 3 e^{\sin (x)} \sin (x))$

Étape 3.4.13

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f''' (x) = - \cos (x) e^{\sin (x)} \sin^{2} (x) - 3 \cos (x) e^{\sin (x)} \sin (x)$

Étape 3.4.14

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \cos (x) e^{\sin (x)} \sin^{2} (x) - 3 \cos (x) e^{\sin (x)} \sin (x)$ .

$f''' (x) = - e^{\sin (x)} \cos (x) \sin^{2} (x) - 3 e^{\sin (x)} \cos (x) \sin (x)$

Étape 4

La dérivée troisième de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- e^{\sin (x)} \cos (x) \sin^{2} (x) - 3 e^{\sin (x)} \cos (x) \sin (x)$ .

$- e^{\sin (x)} \cos (x) \sin^{2} (x) - 3 e^{\sin (x)} \cos (x) \sin (x)$