Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sin^{2} (2 x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sin (2 x)$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\sin (2 x)$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (\sin (2 x))$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 2 u_{1} \frac{d}{d x} (\sin (2 x))$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\sin (2 x)$ .

$f' (x) = 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} (\sin (2 x))$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 x$ .

$f' (x) = 2 \sin (2 x) (\frac{d}{d u (2)} (\sin (u_{2})) \frac{d}{d x} (2 x))$

Étape 1.2.2

La dérivée de $\sin (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\cos (u_{2})$ .

$f' (x) = 2 \sin (2 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} (2 x))$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x$ .

$f' (x) = 2 \sin (2 x) (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 2 \sin (2 x) \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))$

Étape 1.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f' (x) = 4 \sin (2 x) \cos (2 x) \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 4 \sin (2 x) \cos (2 x) \cdot 1$

Étape 1.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.4.1

Multipliez $4$ par $1$ .

$f' (x) = 4 \sin (2 x) \cos (2 x)$

Étape 1.3.4.2

Réorganisez les facteurs de $4 \sin (2 x) \cos (2 x)$ .

$f' (x) = 4 \cos (2 x) \sin (2 x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 \cos (2 x) \sin (2 x)$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\cos (2 x) \sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\cos (2 x) \sin (2 x))$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \cos (2 x)$ et $g (x) = \sin (2 x)$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (\sin (2 x)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} (\cos (2 x)))$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $2 x$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (2 x) (\frac{d}{d u (1)} (\sin (u_{1})) \frac{d}{d x} (2 x)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} (\cos (2 x)))$

Étape 2.3.2

La dérivée de $\sin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\cos (u_{1})$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (2 x) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} (2 x)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} (\cos (2 x)))$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (2 x) (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} (\cos (2 x)))$

Étape 2.4

Élevez $\cos (2 x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (2 x) \cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} (\cos (2 x)))$

Étape 2.5

Élevez $\cos (2 x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (2 x) \cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} (\cos (2 x)))$

Étape 2.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 4 ({\cos (2 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} (2 x) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} (\cos (2 x)))$

Étape 2.7

Différenciez.

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Étape 2.7.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (2 x) \frac{d}{d x} (2 x) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} (\cos (2 x)))$

Étape 2.7.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} (\cos (2 x)))$

Étape 2.7.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (2 x) (2 \cdot 1) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} (\cos (2 x)))$

Étape 2.7.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.7.4.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (2 x) \cdot 2 + \sin (2 x) \frac{d}{d x} (\cos (2 x)))$

Étape 2.7.4.2

Déplacez $2$ à gauche de $\cos^{2} (2 x)$ .

$f'' (x) = 4 (2 \cdot \cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} (\cos (2 x)))$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.8.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 x$ .

$f'' (x) = 4 (2 \cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) (\frac{d}{d u (2)} (\cos (u_{2})) \frac{d}{d x} (2 x)))$

Étape 2.8.2

La dérivée de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \sin (u_{2})$ .

$f'' (x) = 4 (2 \cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} (2 x)))$

Étape 2.8.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x$ .

$f'' (x) = 4 (2 \cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)))$

Étape 2.9

Élevez $\sin (2 x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 4 (2 \cos^{2} (2 x) - \sin (2 x) \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Étape 2.10

Élevez $\sin (2 x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 4 (2 \cos^{2} (2 x) - \sin (2 x) \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Étape 2.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 4 (2 \cos^{2} (2 x) - {\sin (2 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} (2 x))$

Étape 2.12

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = 4 (2 \cos^{2} (2 x) - \sin^{2} (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Étape 2.13

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 4 (2 \cos^{2} (2 x) - \sin^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Étape 2.14

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 4 (2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x) \frac{d}{d x} x)$

Étape 2.15

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 (2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x) \cdot 1)$

Étape 2.16

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f'' (x) = 4 (2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x))$

Étape 2.17

Simplifiez

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Étape 2.17.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = 4 (2 \cos^{2} (2 x)) + 4 (- 2 \sin^{2} (2 x))$

Étape 2.17.2

Associez des termes.

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Étape 2.17.2.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$f'' (x) = 8 \cos^{2} (2 x) + 4 (- 2 \sin^{2} (2 x))$

Étape 2.17.2.2

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$f'' (x) = 8 \cos^{2} (2 x) - 8 \sin^{2} (2 x)$

Étape 3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $8 \cos^{2} (2 x) - 8 \sin^{2} (2 x)$ .

$8 \cos^{2} (2 x) - 8 \sin^{2} (2 x)$