Calcul infinitésimal Exemples

$\cos^{3} (2 x)$

Step 1

Écrivez $\cos^{3} (2 x)$ comme une fonction.

$f (x) = \cos^{3} (2 x)$

Step 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Step 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \cos^{3} (2 x) d x$

Step 4

Laissez $u_{1} = 2 x$ . Alors $d u_{1} = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Laissez $u_{1} = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \cos^{3} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Step 5

Associez $\cos^{3} (u_{1})$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\cos^{3} (u_{1})}{2} d u_{1}$

Step 6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Step 7

Factorisez $\cos^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int \cos^{2} (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Step 8

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\cos^{2} (u_{1})$ comme $1 - \sin^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int (1 - \sin^{2} (u_{1})) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Step 9

Laissez $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Alors $d u_{2} = \cos (u_{1}) d u_{1}$ , donc $\frac{1}{\cos (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Laissez $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Différenciez $\sin (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})]$

La dérivée de $\sin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1})$

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int 1 - {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Step 10

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} (\int d u_{2} + \int - {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Step 11

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} (u_{2} + C + \int - {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Step 12

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (u_{2} + C - \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Step 13

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{2}}^{2}$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{2} (u_{2} + C - (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C))$

Step 14

Simplifiez

$\frac{1}{2} (u_{2} - \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}) + C$

Step 15

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\sin (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (\sin (u_{1}) - \frac{1}{3} \sin^{3} (u_{1})) + C$

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x$ .

$\frac{1}{2} (\sin (2 x) - \frac{1}{3} \sin^{3} (2 x)) + C$

Step 16

Simplifiez

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Associez $\sin^{3} (2 x)$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\sin (2 x) - \frac{\sin^{3} (2 x)}{3}) + C$

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} \sin (2 x) + \frac{1}{2} (- \frac{\sin^{3} (2 x)}{3}) + C$

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sin (2 x)$ .

$\frac{\sin (2 x)}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin^{3} (2 x)}{3}) + C$

Multipliez $\frac{1}{2} (- \frac{\sin^{3} (2 x)}{3})$ .

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Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sin^{3} (2 x)}{3}$ .

$\frac{\sin (2 x)}{2} - \frac{\sin^{3} (2 x)}{2 \cdot 3} + C$

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{\sin (2 x)}{2} - \frac{\sin^{3} (2 x)}{6} + C$

Step 17

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} \sin (2 x) - \frac{1}{6} \sin^{3} (2 x) + C$

Step 18

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \cos^{3} (2 x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} \sin (2 x) - \frac{1}{6} \sin^{3} (2 x) + C$