Calcul infinitésimal Exemples

$| 3 t - 4 |$

Step 1

Déterminez la dérivée première.

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Déterminez la dérivée première.

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Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = | t |$ et $g (t) = 3 t - 4$ .

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Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 t - 4$ .

$f' (t) = \frac{d}{d u} (| u |) \frac{d}{d t} (3 t - 4)$

La dérivée de $| u |$ par rapport à $u$ est $\frac{u}{| u |}$ .

$f' (t) = \frac{u}{| u |} \cdot \frac{d}{d t} (3 t - 4)$

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 t - 4$ .

$f' (t) = \frac{3 t - 4}{| 3 t - 4 |} \cdot \frac{d}{d t} (3 t - 4)$

Différenciez.

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Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 t - 4$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 4]$ .

$f' (t) = \frac{3 t - 4}{| 3 t - 4 |} \cdot (\frac{d}{d t} (3 t) + \frac{d}{d t} (- 4))$

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $3 t$ par rapport à $t$ est $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$f' (t) = \frac{3 t - 4}{| 3 t - 4 |} \cdot (3 \frac{d}{d t} (t) + \frac{d}{d t} (- 4))$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (t) = \frac{3 t - 4}{| 3 t - 4 |} \cdot (3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} (- 4))$

Multipliez $3$ par $1$ .

$f' (t) = \frac{3 t - 4}{| 3 t - 4 |} \cdot (3 + \frac{d}{d t} (- 4))$

Comme $- 4$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $t$ est $0$ .

$f' (t) = \frac{3 t - 4}{| 3 t - 4 |} \cdot (3 + 0)$

Associez les fractions.

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Additionnez $3$ et $0$ .

$f' (t) = \frac{3 t - 4}{| 3 t - 4 |} \cdot 3$

Associez $\frac{3 t - 4}{| 3 t - 4 |}$ et $3$ .

$f' (t) = \frac{(3 t - 4) \cdot 3}{| 3 t - 4 |}$

Déplacez $3$ à gauche de $3 t - 4$ .

$f' (t) = \frac{3 \cdot (3 t - 4)}{| 3 t - 4 |}$

Simplifiez

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Appliquez la propriété distributive.

$f' (t) = \frac{3 (3 t) + 3 \cdot - 4}{| 3 t - 4 |}$

Simplifiez chaque terme.

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Multipliez $3$ par $3$ .

$f' (t) = \frac{9 t + 3 \cdot - 4}{| 3 t - 4 |}$

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$f' (t) = \frac{9 t - 12}{| 3 t - 4 |}$

Factorisez $3$ à partir de $9 t - 12$ .

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Factorisez $3$ à partir de $9 t$ .

$f' (t) = \frac{3 (3 t) - 12}{| 3 t - 4 |}$

Factorisez $3$ à partir de $- 12$ .

$f' (t) = \frac{3 (3 t) + 3 (- 4)}{| 3 t - 4 |}$

Factorisez $3$ à partir de $3 (3 t) + 3 (- 4)$ .

$f' (t) = \frac{3 (3 t - 4)}{| 3 t - 4 |}$

La dérivée première de $f (t)$ par rapport à $t$ est $\frac{3 (3 t - 4)}{| 3 t - 4 |}$ .

$\frac{3 (3 t - 4)}{| 3 t - 4 |}$

Step 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{3 (3 t - 4)}{| 3 t - 4 |} = 0$ .

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Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{3 (3 t - 4)}{| 3 t - 4 |} = 0$

Définissez le numérateur égal à zéro.

$3 (3 t - 4) = 0$

Résolvez l’équation pour $t$ .

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Divisez chaque terme dans $3 (3 t - 4) = 0$ par $3$ et simplifiez.

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Divisez chaque terme dans $3 (3 t - 4) = 0$ par $3$ .

$\frac{3 (3 t - 4)}{3} = \frac{0}{3}$

Simplifiez le côté gauche.

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Annulez le facteur commun de $3$ .

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Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (3 t - 4)}{3} = \frac{0}{3}$

Divisez $3 t - 4$ par $1$ .

$3 t - 4 = \frac{0}{3}$

Simplifiez le côté droit.

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Divisez $0$ par $3$ .

$3 t - 4 = 0$

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$3 t = 4$

Divisez chaque terme dans $3 t = 4$ par $3$ et simplifiez.

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Divisez chaque terme dans $3 t = 4$ par $3$ .

$\frac{3 t}{3} = \frac{4}{3}$

Simplifiez le côté gauche.

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Annulez le facteur commun de $3$ .

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Annulez le facteur commun.

$\frac{3 t}{3} = \frac{4}{3}$

Divisez $t$ par $1$ .

$t = \frac{4}{3}$

Step 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Définissez le dénominateur dans $\frac{3 (3 t - 4)}{| 3 t - 4 |}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$| 3 t - 4 | = 0$

Résolvez $t$ .

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Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$3 t - 4 = \pm 0$

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$3 t - 4 = 0$

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$3 t = 4$

Divisez chaque terme dans $3 t = 4$ par $3$ et simplifiez.

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Divisez chaque terme dans $3 t = 4$ par $3$ .

$\frac{3 t}{3} = \frac{4}{3}$

Simplifiez le côté gauche.

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Annulez le facteur commun de $3$ .

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Annulez le facteur commun.

$\frac{3 t}{3} = \frac{4}{3}$

Divisez $t$ par $1$ .

$t = \frac{4}{3}$

Step 4

Évaluez $| 3 t - 4 |$ sur chaque valeur $t$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Évaluez sur $t = \frac{4}{3}$ .

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Remplacez $t$ par $\frac{4}{3}$ .

$| 3 (\frac{4}{3}) - 4 |$

Simplifiez

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Annulez le facteur commun de $3$ .

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Annulez le facteur commun.

$| 3 (\frac{4}{3}) - 4 |$

Réécrivez l’expression.

$| 4 - 4 |$

Soustrayez $4$ de $4$ .

$| 0 |$

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $0$ est $0$ .

$0$

Indiquez tous les points.

$(\frac{4}{3}, 0)$

Step 5