Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (x^{2} - 6 x + 1)$ , $(6, 0)$

Step 1

Écrivez $\ln (x^{2} - 6 x + 1)$ comme une équation.

$y = \ln (x^{2} - 6 x + 1)$

Step 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 6$ et $y = 0$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{2} - 6 x + 1$ .

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Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 6 x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 1]$

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 1]$

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 6 x + 1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 6 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 1]$

Différenciez.

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Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 6 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 6 x + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} - 6 x + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 6 x + 1} (2 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 6 x + 1} (2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 6 x + 1} (2 x - 6 + \frac{d}{d x} [1])$

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 6 x + 1} (2 x - 6 + 0)$

Additionnez $2 x - 6$ et $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 6 x + 1} (2 x - 6)$

Simplifiez

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Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{x^{2} - 6 x + 1} (2 x - 6)$ .

$(2 x - 6) \frac{1}{x^{2} - 6 x + 1}$

Multipliez $2 x - 6$ par $\frac{1}{x^{2} - 6 x + 1}$ .

$\frac{2 x - 6}{x^{2} - 6 x + 1}$

Factorisez $2$ à partir de $2 x - 6$ .

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Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{2 (x) - 6}{x^{2} - 6 x + 1}$

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$\frac{2 x + 2 \cdot - 3}{x^{2} - 6 x + 1}$

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 2 \cdot - 3$ .

$\frac{2 (x - 3)}{x^{2} - 6 x + 1}$

Évaluez la dérivée sur $x = 6$ .

$\frac{2 ((6) - 3)}{{(6)}^{2} - 6 \cdot 6 + 1}$

Simplifiez

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Soustrayez $3$ de $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{6^{2} - 6 \cdot 6 + 1}$

Simplifiez le dénominateur.

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Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$\frac{2 \cdot 3}{36 - 6 \cdot 6 + 1}$

Multipliez $- 6$ par $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{36 - 36 + 1}$

Soustrayez $36$ de $36$ .

$\frac{2 \cdot 3}{0 + 1}$

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{2 \cdot 3}{1}$

Simplifiez l’expression.

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Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{6}{1}$

Divisez $6$ par $1$ .

$6$

Step 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Utilisez la pente $6$ et un point donné, tel que $(6, 0)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 6 \cdot (x - (6))$

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y + 0 = 6 \cdot (x - 6)$

Résolvez $y$ .

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Additionnez $y$ et $0$ .

$y = 6 \cdot (x - 6)$

Simplifiez $6 \cdot (x - 6)$ .

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Appliquez la propriété distributive.

$y = 6 x + 6 \cdot - 6$

Multipliez $6$ par $- 6$ .

$y = 6 x - 36$

Step 4