Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sin (3 x^{5})$

Step 1

Déterminez la dérivée première.

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Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 3 x^{5}$ .

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Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x^{5}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (3 x^{5})$

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$f' (x) = \cos (u) \frac{d}{d x} (3 x^{5})$

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x^{5}$ .

$f' (x) = \cos (3 x^{5}) \frac{d}{d x} (3 x^{5})$

Différenciez.

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Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{5}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f' (x) = \cos (3 x^{5}) (3 \frac{d}{d x} (x^{5}))$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$f' (x) = \cos (3 x^{5}) (3 (5 x^{4}))$

Simplifiez l’expression.

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Multipliez $5$ par $3$ .

$f' (x) = \cos (3 x^{5}) (15 x^{4})$

Réorganisez les facteurs de $\cos (3 x^{5}) (15 x^{4})$ .

$f' (x) = 15 x^{4} \cos (3 x^{5})$

Step 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Comme $15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $15 x^{4} \cos (3 x^{5})$ par rapport à $x$ est $15 \frac{d}{d x} [x^{4} \cos (3 x^{5})]$ .

$f'' (x) = 15 \frac{d}{d x} (x^{4} \cos (3 x^{5}))$

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = \cos (3 x^{5})$ .

$f'' (x) = 15 (x^{4} \frac{d}{d x} (\cos (3 x^{5})) + \cos (3 x^{5}) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 3 x^{5}$ .

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Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x^{5}$ .

$f'' (x) = 15 (x^{4} (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (3 x^{5})) + \cos (3 x^{5}) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = 15 (x^{4} (- \sin (u) \frac{d}{d x} (3 x^{5})) + \cos (3 x^{5}) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x^{5}$ .

$f'' (x) = 15 (x^{4} (- \sin (3 x^{5}) \frac{d}{d x} (3 x^{5})) + \cos (3 x^{5}) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Différenciez.

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Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{5}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f'' (x) = 15 (x^{4} (- \sin (3 x^{5}) (3 \frac{d}{d x} (x^{5}))) + \cos (3 x^{5}) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 15 (x^{4} (- 3 \sin (3 x^{5}) \frac{d}{d x} x^{5}) + \cos (3 x^{5}) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$f'' (x) = 15 (x^{4} (- 3 \sin (3 x^{5}) (5 x^{4})) + \cos (3 x^{5}) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Multipliez $5$ par $- 3$ .

$f'' (x) = 15 (x^{4} (- 15 \sin (3 x^{5}) x^{4}) + \cos (3 x^{5}) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Multipliez $x^{4}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Déplacez $x^{4}$ .

$f'' (x) = 15 (x^{4} x^{4} (- 15 \sin (3 x^{5})) + \cos (3 x^{5}) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 15 (x^{4 + 4} (- 15 \sin (3 x^{5})) + \cos (3 x^{5}) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Additionnez $4$ et $4$ .

$f'' (x) = 15 (x^{8} (- 15 \sin (3 x^{5})) + \cos (3 x^{5}) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f'' (x) = 15 (x^{8} (- 15 \sin (3 x^{5})) + \cos (3 x^{5}) (4 x^{3}))$

Simplifiez

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Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = 15 (x^{8} (- 15 \sin (3 x^{5}))) + 15 (\cos (3 x^{5}) (4 x^{3}))$

Associez des termes.

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Multipliez $- 15$ par $15$ .

$f'' (x) = - 225 (x^{8} (\sin (3 x^{5}))) + 15 (\cos (3 x^{5}) (4 x^{3}))$

Multipliez $4$ par $15$ .

$f'' (x) = - 225 x^{8} \sin (3 x^{5}) + 60 \cos (3 x^{5}) x^{3}$

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = - 225 x^{8} \sin (3 x^{5}) + 60 x^{3} \cos (3 x^{5})$

Step 3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 225 x^{8} \sin (3 x^{5}) + 60 x^{3} \cos (3 x^{5})$ .

$- 225 x^{8} \sin (3 x^{5}) + 60 x^{3} \cos (3 x^{5})$