Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \cot (x)$

Step 1

La dérivée de $\cot (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc^{2} (x)$ .

$f' (x) = - \csc^{2} (x)$

Step 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \csc^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \csc^{2} (x)$

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \csc (x)$ .

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Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\csc (x)$ .

$f'' (x) = - (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\csc (x)))$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - (2 u \frac{d}{d x} (\csc (x)))$

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\csc (x)$ .

$f'' (x) = - (2 \csc (x) \frac{d}{d x} (\csc (x)))$

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 (\csc (x) \frac{d}{d x} (\csc (x)))$

La dérivée de $\csc (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc (x) \cot (x)$ .

$f'' (x) = - 2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))$

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f'' (x) = 2 \csc (x) (\csc (x) \cot (x))$

Élevez $\csc (x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 2 (\csc (x) \csc (x)) \cot (x)$

Élevez $\csc (x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 2 (\csc (x) \csc (x)) \cot (x)$

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 2 {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x)$

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = 2 \csc^{2} (x) \cot (x)$

Step 3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $2 \csc^{2} (x) \cot (x)$ .

$2 \csc^{2} (x) \cot (x)$