Calcul infinitésimal Exemples

$y = \csc (x) \sec (x)$

Step 1

Déterminez la dérivée première.

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Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \csc (x)$ et $g (x) = \sec (x)$ .

$f' (x) = \csc (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} (\csc (x))$

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$f' (x) = \csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} (\csc (x))$

La dérivée de $\csc (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc (x) \cot (x)$ .

$f' (x) = \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x))$

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = \csc (x) \sec (x) \tan (x) - \cot (x) \csc (x) \sec (x)$

Step 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Selon la règle de la somme, la dérivée de $\csc (x) \sec (x) \tan (x) - \cot (x) \csc (x) \sec (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\csc (x) \sec (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [- \cot (x) \csc (x) \sec (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\csc (x) \sec (x) \tan (x)) + \frac{d}{d x} (- \cot (x) \csc (x) \sec (x))$

Évaluez $\frac{d}{d x} [\csc (x) \sec (x) \tan (x)]$ .

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Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \csc (x) \sec (x)$ et $g (x) = \tan (x)$ .

$f'' (x) = \csc (x) \sec (x) \frac{d}{d x} (\tan (x)) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\csc (x) \sec (x)) + \frac{d}{d x} (- \cot (x) \csc (x) \sec (x))$

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$f'' (x) = \csc (x) \sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\csc (x) \sec (x)) + \frac{d}{d x} (- \cot (x) \csc (x) \sec (x))$

$f'' (x) = \csc (x) \sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (\csc (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} (\csc (x))) + \frac{d}{d x} (- \cot (x) \csc (x) \sec (x))$

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$f'' (x) = \csc (x) \sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (\csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} (\csc (x))) + \frac{d}{d x} (- \cot (x) \csc (x) \sec (x))$

La dérivée de $\csc (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc (x) \cot (x)$ .

$f'' (x) = \csc (x) \sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (\csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x))) + \frac{d}{d x} (- \cot (x) \csc (x) \sec (x))$

Multipliez $\sec (x)$ par $\sec^{2} (x)$ en additionnant les exposants.

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Déplacez $\sec^{2} (x)$ .

$f'' (x) = \csc (x) (\sec^{2} (x) \sec (x)) + \tan (x) (\csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x))) + \frac{d}{d x} (- \cot (x) \csc (x) \sec (x))$

Multipliez $\sec^{2} (x)$ par $\sec (x)$ .

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Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \csc (x) (\sec^{2} (x) \sec (x)) + \tan (x) (\csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x))) + \frac{d}{d x} (- \cot (x) \csc (x) \sec (x))$

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \csc (x) {\sec (x)}^{2 + 1} + \tan (x) (\csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x))) + \frac{d}{d x} (- \cot (x) \csc (x) \sec (x))$

Additionnez $2$ et $1$ .

$f'' (x) = \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x))) + \frac{d}{d x} (- \cot (x) \csc (x) \sec (x))$

$f'' (x) = \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x))) + \frac{d}{d x} (- \cot (x) \csc (x) \sec (x))$

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \cot (x) \csc (x) \sec (x)]$ .

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Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cot (x) \csc (x) \sec (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cot (x) \csc (x) \sec (x)]$ .

$f'' (x) = \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x))) - \frac{d}{d x} (\cot (x) \csc (x) \sec (x))$

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \cot (x) \csc (x)$ et $g (x) = \sec (x)$ .

$f'' (x) = \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x))) - (\cot (x) \csc (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} (\cot (x) \csc (x)))$

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$f'' (x) = \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x))) - (\cot (x) \csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} (\cot (x) \csc (x)))$

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \cot (x)$ et $g (x) = \csc (x)$ .

$f'' (x) = \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x))) - (\cot (x) \csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (\cot (x) \frac{d}{d x} (\csc (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x))))$

La dérivée de $\csc (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc (x) \cot (x)$ .

$f'' (x) = \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x))) - (\cot (x) \csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (\cot (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x))))$

La dérivée de $\cot (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc^{2} (x)$ .

Élevez $\cot (x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x))) - (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) (\cot (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc^{2} (x))))$

Élevez $\cot (x)$ à la puissance $1$ .

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x))) - (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) {\cot (x)}^{1 + 1} + \csc (x) (- \csc^{2} (x))))$

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x))) - (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc (x) (- \csc^{2} (x))))$

Élevez $\csc (x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x))) - (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) - (\csc (x) \csc^{2} (x))))$

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x))) - (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) - {\csc (x)}^{1 + 2}))$

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x))) - (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x)))$

Simplifiez

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Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) (- \csc (x) \cot (x))) - (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x)))$

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) (- \csc (x) \cot (x))) - (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x)) + \sec (x) (- \csc^{3} (x)))$

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) (- \csc (x) \cot (x))) - (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x)) - (\sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x))) - (\sec (x) (- \csc^{3} (x)))$

Associez des termes.

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Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) \tan (x) (\csc (x) \sec (x)) + \tan (x) (\sec (x) (- \csc (x) \cot (x))) - (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x)) - (\sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x))) - (\sec (x) (- \csc^{3} (x)))$

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \csc (x) \sec^{3} (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} (\csc (x) \sec (x)) + \tan (x) (\sec (x) (- \csc (x) \cot (x))) - (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x)) - (\sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x))) - (\sec (x) (- \csc^{3} (x)))$

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) (\csc (x) \sec (x)) + \tan (x) (\sec (x) (- \csc (x) \cot (x))) - (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x)) - (\sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x))) - (\sec (x) (- \csc^{3} (x)))$

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \tan (x) \sec (x) (- \csc (x) \cot (x)) - \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + 1 (\sec (x) (\csc (x) \cot^{2} (x))) - (\sec (x) (- \csc^{3} (x)))$

Multipliez $\sec (x)$ par $1$ .

$f'' (x) = \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \tan (x) \sec (x) (- \csc (x) \cot (x)) - \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (\csc (x) \cot^{2} (x)) - (\sec (x) (- \csc^{3} (x)))$

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \tan (x) \sec (x) (- \csc (x) \cot (x)) - \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \csc (x) \cot^{2} (x) + 1 (\sec (x) (\csc^{3} (x)))$

Multipliez $\sec (x)$ par $1$ .

$f'' (x) = \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \tan (x) \sec (x) (- \csc (x) \cot (x)) - \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \csc (x) \cot^{2} (x) + \sec (x) \csc^{3} (x)$

Réorganisez les facteurs de $\tan (x) \sec (x) (- \csc (x) \cot (x))$ .

$f'' (x) = \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \csc (x) \sec (x) - \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) - \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \csc (x) \cot^{2} (x) + \sec (x) \csc^{3} (x)$

Soustrayez $\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x)$ de $- \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x)$ .

$f'' (x) = \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \csc (x) \sec (x) - 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \csc (x) \cot^{2} (x) + \sec (x) \csc^{3} (x)$

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = \sec^{3} (x) \csc (x) + \tan^{2} (x) \csc (x) \sec (x) - 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x)$

Simplifiez chaque terme.

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Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$f'' (x) = \sec^{3} (x) \csc (x) + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} \csc (x) \sec (x) - 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x)$

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$f'' (x) = \sec^{3} (x) \csc (x) + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} (\frac{1}{\sin (x)}) \cdot \sec (x) - 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x)$

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$f'' (x) = \sec^{3} (x) \csc (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} \cdot \sec (x) - 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x)$

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin^{2} (x)$ .

$f'' (x) = \sec^{3} (x) \csc (x) + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} \cdot \sec (x) - 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x)$

Annulez le facteur commun.

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \sec^{3} (x) \csc (x) + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} \cdot \sec (x) - 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x)$

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$f'' (x) = \sec^{3} (x) \csc (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} \cdot \sec (x) - 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x)$

Séparez les fractions.

$f'' (x) = \sec^{3} (x) \csc (x) + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \sec (x) - 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x)$

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$f'' (x) = \sec^{3} (x) \csc (x) + \frac{1}{\cos (x)} \cdot (\tan (x) \sec (x)) - 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x)$

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$f'' (x) = \sec^{3} (x) \csc (x) + \sec (x) \tan (x) \sec (x) - 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x)$

Multipliez $\sec (x) \tan (x) \sec (x)$ .

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Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \sec^{3} (x) \csc (x) + \sec (x) \sec (x) \tan (x) - 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x)$

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \sec^{3} (x) \csc (x) + \sec (x) \sec (x) \tan (x) - 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x)$

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \sec^{3} (x) \csc (x) + {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x) - 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x)$

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = \sec^{3} (x) \csc (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) - 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x)$