Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sin (\frac{x}{2})$

Step 1

Déterminez la dérivée seconde.

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Déterminez la dérivée première.

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Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x}{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$f' (x) = \cos (u) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{2}$ .

$f' (x) = \cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

Différenciez.

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Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

Associez $\frac{1}{2}$ et $\cos (\frac{x}{2})$ .

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

Multipliez $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

Déterminez la dérivée seconde.

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Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\cos (\frac{x}{2}))$

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2}))$

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \sin (u) \frac{d}{d x} \frac{x}{2})$

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} \frac{x}{2})$

Différenciez.

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Associez $\frac{1}{2}$ et $\sin (\frac{x}{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{x}{2}$

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2} \cdot (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

Associez les fractions.

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Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sin (\frac{x}{2})}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2 \cdot 2} \cdot \frac{d}{d x} x$

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} \cdot \frac{d}{d x} x$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} \cdot 1$

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$

Step 2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} = 0$ .

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Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} = 0$

Définissez le numérateur égal à zéro.

$\sin (\frac{x}{2}) = 0$

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$\frac{x}{2} = \arcsin (0)$

Simplifiez le côté droit.

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La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$\frac{x}{2} = 0$

Définissez le numérateur égal à zéro.

$x = 0$

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$\frac{x}{2} = π - 0$

Résolvez $x$ .

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Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - 0)$

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Simplifiez le côté gauche.

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Annulez le facteur commun de $2$ .

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Annulez le facteur commun.

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - 0)$

Réécrivez l’expression.

$x = 2 (π - 0)$

Simplifiez le côté droit.

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Soustrayez $0$ de $π$ .

$x = 2 π$

Déterminez la période de $\sin (\frac{x}{2})$ .

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La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Remplacez $b$ par $\frac{1}{2}$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

$\frac{1}{2}$ est d’environ $0.5$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 π \cdot 2$

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 π$

La période de la fonction $\sin (\frac{x}{2})$ est $4 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $4 π$ radians dans les deux sens.

$x = 4 π n, 2 π + 4 π n$ , pour tout entier $n$

Consolidez les réponses.

$x = 2 π n$ , pour tout entier $n$

Step 3

Le point trouvé en remplaçant dans $f (x) = \sin (\frac{x}{2})$ est $(,)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(,)$

Step 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty,) \cup (, \infty)$

Step 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty,)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Remplacez la variable $x$ par $- 0.1$ dans l’expression.

$f'' (- 0.1) = - \frac{\sin (\frac{- 0.1}{2})}{4}$

Simplifiez le résultat.

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Simplifiez le numérateur.

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Divisez $- 0.1$ par $2$ .

$f'' (- 0.1) = - \frac{\sin (- 0.05)}{4}$

Évaluez $\sin (- 0.05)$ .

$f'' (- 0.1) = - \frac{- 0.04997916}{4}$

Simplifiez l’expression.

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Divisez $- 0.04997916$ par $4$ .

$f'' (- 0.1) = 0.01249479$

Multipliez $- 1$ par $- 0.01249479$ .

$f'' (- 0.1) = 0.01249479$

La réponse finale est $0.01249479$ .

$0.01249479$

Sur $- 0.1$ , la dérivée seconde est $0.01249479$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- \infty,)$ .

Augmente sur $(- \infty,)$ depuis $f'' (x) > 0$

Step 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Remplacez la variable $x$ par $0.1$ dans l’expression.

$f'' (0.1) = - \frac{\sin (\frac{0.1}{2})}{4}$

Simplifiez le résultat.

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Simplifiez le numérateur.

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Divisez $0.1$ par $2$ .

$f'' (0.1) = - \frac{\sin (0.05)}{4}$

Évaluez $\sin (0.05)$ .

$f'' (0.1) = - \frac{0.04997916}{4}$

Simplifiez l’expression.

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Divisez $0.04997916$ par $4$ .

$f'' (0.1) = - 1 \cdot 0.01249479$

Multipliez $- 1$ par $0.01249479$ .

$f'' (0.1) = - 0.01249479$

La réponse finale est $- 0.01249479$ .

$- 0.01249479$

Sur $0.1$ , la dérivée seconde est $- 0.01249479$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(, \infty)$

Diminue sur $(, \infty)$ depuis $f'' (x) < 0$

Step 7

Un point d’inflexion est un point sur une courbe sur lequel la concavité passe du signe plus au signe moins ou du signe moins au signe plus. Dans ce cas, le point d’inflexion est $(,)$ .

$(,)$

Step 8